8、离散对数、Diffie - Hellman与ElGamal公钥密码系统

离散对数、Diffie - Hellman与ElGamal公钥密码系统

在密码学领域，公钥密码系统是保障信息安全传输的重要工具。Diffie - Hellman密钥交换算法虽能实现随机密钥的公开共享，但未能达成公钥密码系统的全部目标，因为密码系统需要实现特定信息的交换，而非仅仅是随机比特串的共享。

1. ElGamal公钥密码系统

1978年，Rivest、Shamir和Adleman提出了首个公钥密码系统——RSA系统，这是一个具有深远意义的发现。不过，在Diffie - Hellman论文发表后，最自然的公钥密码系统发展是Taher ElGamal在1985年提出的ElGamal系统。该系统基于离散对数问题，与Diffie - Hellman密钥交换密切相关。

1.1 系统流程

• 参数选择 ：需要一个大素数 $p$，使得在 $F_p^*$ 中的离散对数问题难以求解，同时还需要一个模 $p$ 的大（素）阶元素 $g$。这些参数可以由Alice自己选择，也可以由可信方（如行业小组或政府机构）预先选定。
• 密钥生成 ：
  • Alice选择一个秘密数 $a$ 作为私钥，计算 $A \equiv g^a \pmod{p}$，并公布公钥 $A$，私钥 $a$ 保密。
• 加密过程 ：
  • 假设Bob想使用Alice的公钥 $A$ 加密消息 $m$（$m$ 是2到 $p$ 之间的整数）。
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