17、运动规划中的降维与特征网络方法解析

运动规划中的降维与特征网络方法解析

在运动规划领域，寻找无碰撞路径以及判断高维图的连通性是关键问题。本文将介绍一种降维方法和特征网络构建方法，以解决这些问题并降低计算复杂度。

1. 问题引入与拓扑模型应用

在无限集 (G(f)) 中寻找无碰撞路径是一个复杂的问题。通过拓扑模型，可以将其转化为在有限网络 (N(G(f))) 中寻找连通路径的问题，从而降低计算复杂度。

例如，对于 (G(D_1))、(G(D_2)) 和 (G(D_3)) 各有不同数量的组件：
- (G(D_1)) 有一个组件，记为 (G(1, 1))
- (G(D_2)) 有两个组件，记为 (G(2, 1)) 和 (G(2, 2))
- (G(D_3)) 有一个组件，记为 (G(3, 1))

每个对应 (G(i, j)) 的节点记为 ( )。给定 (x_0 \in G(2, 2)) 和 (x_1 \in G(1, 1))，从特征网络中可以找到连通路径 (<2, 2> \to <3, 1> \to <2, 1> \to <1, 1>)，进而得到无碰撞路径 (x_0; y_0; x_2; y_2; x_3; y_3; x_1)。

2. 降维方法基本原理

运动物体 (A) 在障碍物中的可达运动图（RMG）通常是高维的，判断其连通性较为困难。基于多粒度计算策略，可以从商空间观察高维图的连通性，从而降低复杂度。

2.1 相关定义

• 多值映射 ：设 (X_1) 和 (X_2) 是两个度量空间，(F