B-spline Curves

B样条曲线，是B-样条基函数的线性组合，是贝塞尔曲线的一般化。

1. B-spline Basis Functions

1.1 B样条基函数的定义

由de Boor和Cox分别导出B样条基函数的递推定义，B样条基函数可以表示为：

并约定$0/0=0$。式中$p$表示B样条的幂次，$u$为节点，下标$i$为B样条的序号。

上式表明，任意$p$次B样条基函数可由两个相邻的$p-1$次B样条基函数的线性组合构成。

B样条基函数的三角计算：

1.2 B样条基函数的性质

1. $N_{i,p}(u)$是关于$u$的$p$次多项式.
2. 如果$u\notin [u_i,u_{i+p+1})$，则$N_{i,p}(u)=0$
3. 当$u\in [u_i,u_{i+1})$时，至多存在$p+1$个$p$次基函数，即$N_{i-p,p}(u),N_{i-p+1,p}(u),...,N_{i,p}(u)$非0.
4. 当$u\in [u_i,u_{i+1})$时，$\sum _{j=i-p}^i{N}_{j,p}(u)=0$.
5. 如果节点数量为$m+1$，B样条基函数的次数为$p$，个数为$n+1$，则$m=n+1+p$.
6. B样条基函数$N_{i,p}(u)$在$k$重节点$u$处$C^{p-k}$连续.

2. B-spline Curves

2.1 定义

给定$n+1$个控制点，$P_0,P_1,\dots ,P_n$以及一个节点向量$U$={$u_0$,$u_1$, …, $u_m$}, $p$次B-样条曲线由这些控制点和节点向量$U$定义：

open B-spline curves：

clamped B-spline curves:

closed B-spline curves:

2.2 性质

1. B样条曲线是次数为$p$的分段曲线组合.
2. $m=n+p+1$.
3. Clamped B样条曲线经过$p_0$，$p_n$两个控制点.
4. 强凸包性:
   当$u\in [u_i,u_{i+1})$时，曲线段$C(u)$ 在由控制点$P_{i-p},P_{i-p+1},...,P_i$组成的凸包内.
5. 局部修改特性:
   改变控制点$P_i$的位置，只会影响处在$[u_i,u_{i+p+1})$区间内的曲线段$C(u)$.
6. $C(u)$在$k$重节点$u$处$C^{p-k}$连续.
7. 变差递减性.
8. 贝塞尔曲线是B样条曲线的特例.
9. 仿射不变性.

2.3 系数计算

计算公式：

示意图：

算法流程:

2.4 改变B样条曲线形状

改变B样条曲线形状可以通过两种方式：

1. 移动控制点

2. 修改节点位置

实践表明，由于不清楚B样条曲线的形状是如何随着节点向量的改变而发生变化的，通过修改节点位置来改变B样条曲线的形状通常很难达到预期的结果。

2.5 B样条曲线的微分

计算公式:


Byang

B样条曲线的微分仍是一条定义在n个控制点$Q_0,Q_1,...,Q_{n-1}$上的次数为$p-1$的B样条曲线.

证明可采用数学归纳法，参考B样条曲线曲面介绍

由B样条曲线的微分计算公式，可以推导得出以下关于Clamped B样条曲线的结论：



Clamped B样条曲线通过第一个和最后一个控制点，并与控制多段线的第一个和最后一个支路相切。

3. Important Algorithms for B-spline Curves

3.1 Knot Insertion

3.1.1 单点单次插入

单点插入示意图：

计算公式：


计算流程示意图:

3.1.2 同一节点重复多次插入

计算公式:

插入1次:

插入2次:

插入3次:

插入$h$次:

算法流程:

3.2 De Boor’s Algorithm

De Boor 算法是 Casteljau 算法的推广。它提供了一种快速且数值稳定的方法来寻找给定区域内，B样条曲线上对应节点$u$的点。
示意图：


如图所示，$P_{k-s,p-s}$即为所找的点$C(u)$.

算法流程如下:

3.3 B样条曲线的分割

将B样条曲线在节点u处分割为两段，一段在[0,u]上，另一段在[u,1]上.
1.使用De Boor算法进行分割得到控制点:


2.两段曲线的节点向量:
第一段：原来$[0,u)$上的所有节点 + $p个u$.
第二段：$p个u$ + 原来$(u,1]$上的所有节点.