矩阵的线性变换，关于向量空间Rn，子空间Span，维数（Dimension），相容与不相容，矩阵的零空间Nul与列空间Col，线性相关与不相关，子空间的基

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例题1：求一个 $2×22\times 2$ 的线性变换矩阵 $T$ ，使其可以将单位向量 $e1=[10]e_1=\begin {bmatrix} 1\\0\end {bmatrix}$ 变换到 $e_1+e_2$ ，且将单位向量 $e2=[01]e_2=\begin {bmatrix} 0\\1\end {bmatrix}$ 变换到 $e_1-e_2$ 。

解：
设此变换为:
$T=[t11t12t21t22]T=\begin {bmatrix} t_{11}&t_{12}\\t_{21}&t_{22}\end {bmatrix}$

把单位向量 $e1=[10]e_1=\begin {bmatrix} 1\\0\end {bmatrix}$ 变换到 $e_1+e_2$ ，则有：

$Te1=[t11t12t21t22][10]=[t11t21]=[11]=e1+e2Te_1=\begin {bmatrix} t_{11}&t_{12}\\t_{21}&t_{22}\end {bmatrix}\begin {bmatrix} 1\\0\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} t_{11}\\t_{21}\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} 1\\1\end {bmatrix}=e_1+e_2$

即： $t_{11}=1$ ， $t_{21}=1$

把单位向量 $e2=[01]e_2=\begin {bmatrix} 0\\1\end {bmatrix}$ 变换到 $e_1-e_2$ ，则有：

$Te2=[t11t12t21t22][01]=[t12t22]=[1−1]=e1−e2Te_2=\begin {bmatrix} t_{11}&t_{12}\\t_{21}&t_{22}\end {bmatrix}\begin {bmatrix} 0\\1\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} t_{12}\\t_{22}\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} 1\\-1\end {bmatrix}=e_1-e_2$

即： $t_{12}=1$ ， $t_{22}=-1$

所以此变换 $T=[111−1]T=\begin {bmatrix} 1&1\\1&-1\end {bmatrix}$

例题2：如果一个 $3×33\times 3$ 的线性变换矩阵 $T$ ，使其可以将单位向量 $e1=[100]e_1=\begin {bmatrix} 1\\0\\0\end {bmatrix}$ 变换到 $[3−21]\begin {bmatrix} 3\\-2\\1\end {bmatrix}$ ，把单位向量 $e2=[010]e_2=\begin {bmatrix} 0\\1\\0\end {bmatrix}$ 变换到 $[607]\begin {bmatrix} 6\\0\\7\end {bmatrix}$ ，把单位向量 $e3=[001]e_3=\begin {bmatrix} 0\\0\\1\end {bmatrix}$ 变换到 $[54−1]\begin {bmatrix} 5\\4\\-1\end {bmatrix}$ ，求此变换矩阵 $T$ 。

解：
设此变换为:
$T=[t11t12t13t21t22t23t31t32t33]T=\begin {bmatrix} t_{11}&t_{12}&t_{13}\\t_{21}&t_{22}&t_{23}\\t_{31}&t_{32}&t_{33}\end {bmatrix}$

把单位向量 $e1=[100]e_1=\begin {bmatrix} 1\\0\\0\end {bmatrix}$ 变换到 $[3−21]\begin {bmatrix} 3\\-2\\1\end {bmatrix}$ ，即：

$Te1=[t11t12t13t21t22t23t31t32t33][100]=[t11t21t31]=[3−21]Te_1=\begin {bmatrix} t_{11}&t_{12}&t_{13}\\t_{21}&t_{22}&t_{23}\\t_{31}&t_{32}&t_{33}\end {bmatrix}\begin {bmatrix} 1\\0\\0\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} t_{11}\\t_{21}\\t_{31}\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} 3\\-2\\1\end {bmatrix}$

把单位向量 $e2=[010]e_2=\begin {bmatrix} 0\\1\\0\end {bmatrix}$ 变换到 $[607]\begin {bmatrix} 6\\0\\7\end {bmatrix}$ ，即：

$Te2=[t11t12t13t21t22t23t31t32t33][010]=[t12t22t32]=[607]Te_2=\begin {bmatrix} t_{11}&t_{12}&t_{13}\\t_{21}&t_{22}&t_{23}\\t_{31}&t_{32}&t_{33}\end {bmatrix}\begin {bmatrix} 0\\1\\0\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} t_{12}\\t_{22}\\t_{32}\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} 6\\0\\7\end {bmatrix}$

把单位向量 $e3=[001]e_3=\begin {bmatrix} 0\\0\\1\end {bmatrix}$ 变换到 $[54−1]\begin {bmatrix} 5\\4\\-1\end {bmatrix}$ ，即：

$Te3=[t11t12t13t21t22t23t31t32t33][001]=[t13t23t33]=[54−1]Te_3=\begin {bmatrix} t_{11}&t_{12}&t_{13}\\t_{21}&t_{22}&t_{23}\\t_{31}&t_{32}&t_{33}\end {bmatrix}\begin {bmatrix} 0\\0\\1\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} t_{13}\\t_{23}\\t_{33}\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} 5\\4\\-1\end {bmatrix}$

所以此变换为:

$T=[365−20417−1]T=\begin {bmatrix} 3&6&5\\-2&0&4\\1&7&-1\end {bmatrix}$

例题3：求把二维空间 $R^2$ 关于直线 $y = x$ 对称的线性变换矩阵 $T$ 。

解：
设此变换为:

$T=[t11t12t21t22]T=\begin {bmatrix} t_{11}&t_{12}\\t_{21}&t_{22}\end {bmatrix}$

把二维空间 $R^2$ 关于直线 $y = x$ 对称，相当于把 $e1=[10]e_1=\begin {bmatrix} 1\\0\end {bmatrix}$ 变换到 $[01]\begin {bmatrix} 0\\1\end {bmatrix}$ ；

把 $e2=[01]e_2=\begin {bmatrix} 0\\1\end {bmatrix}$ 变换到 $[10]\begin {bmatrix} 1\\0\end {bmatrix}$ ，则有：

$Te1=[t11t12t21t22][10]=[t11t21]=[01]Te_1=\begin {bmatrix} t_{11}&t_{12}\\t_{21}&t_{22}\end {bmatrix}\begin {bmatrix} 1\\0\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} t_{11}\\t_{21}\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} 0\\1\end {bmatrix}$

$Te2=[t11t12t21t22][01]=[t12t22]=[10]Te_2=\begin {bmatrix} t_{11}&t_{12}\\t_{21}&t_{22}\end {bmatrix}\begin {bmatrix} 0\\1\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} t_{12}\\t_{22}\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} 1\\0\end {bmatrix}$

所以此变换 $T=[0110]T=\begin {bmatrix} 0&1\\1&0\end {bmatrix}$

例题4：一个线性变换矩阵 $T$ 可以把单位正方形（顶点分别为(0,0)，(0,1)，(1,0)和(1,1)的正方形）变为定点为(0,0)，(-1,1)，(2,2)和(3,1)的平行四边形，求此变换矩阵 $T$ 。
在这里插入图片描述
解：
因为在二维空间，所以设此变换为:

$T=[t11t12t21t22]T=\begin {bmatrix} t_{11}&t_{12}\\t_{21}&t_{22}\end {bmatrix}$

$[t11t12t21t22][00]=[00]\begin {bmatrix} t_{11}&t_{12}\\t_{21}&t_{22}\end {bmatrix}\begin {bmatrix} 0\\0\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} 0\\0\end {bmatrix}$ ，所以原点位置依然在原点。

可能性1：
设 $e1=[10]e_1=\begin {bmatrix} 1\\0\end {bmatrix}$ 变换到 $[31]\begin {bmatrix} 3\\1\end {bmatrix}$ ，
而 $e2=[01]e_2=\begin {bmatrix} 0\\1\end {bmatrix}$ 变换到 $[−11]\begin {bmatrix} -1\\1\end {bmatrix}$
即：
$[t11t12t21t22][10]=[t11t21]=[31]\begin {bmatrix} t_{11}&t_{12}\\t_{21}&t_{22}\end {bmatrix}\begin {bmatrix} 1\\0\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} t_{11}\\t_{21}\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} 3\\1\end {bmatrix}$

$[t11t12t21t22][01]=[t12t22]=[−11]\begin {bmatrix} t_{11}&t_{12}\\t_{21}&t_{22}\end {bmatrix}\begin {bmatrix} 0\\1\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} t_{12}\\t_{22}\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} -1\\1\end {bmatrix}$

所以 $T1=[3−111]T_1=\begin {bmatrix} 3&-1\\1&1\end {bmatrix}$

可能性2：
设 $e1=[10]e_1=\begin {bmatrix} 1\\0\end {bmatrix}$ 变换到 $[−11]\begin {bmatrix} -1\\1\end {bmatrix}$ ，
而 $e2=[01]e_2=\begin {bmatrix} 0\\1\end {bmatrix}$ 变换到 $[31]\begin {bmatrix} 3\\1\end {bmatrix}$
即：
$[t11t12t21t22][10]=[t11t21]=[−11]\begin {bmatrix} t_{11}&t_{12}\\t_{21}&t_{22}\end {bmatrix}\begin {bmatrix} 1\\0\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} t_{11}\\t_{21}\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} -1\\1\end {bmatrix}$

$[t11t12t21t22][01]=[t12t22]=[31]\begin {bmatrix} t_{11}&t_{12}\\t_{21}&t_{22}\end {bmatrix}\begin {bmatrix} 0\\1\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} t_{12}\\t_{22}\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} 3\\1\end {bmatrix}$

所以 $T2=[−1311]T_2=\begin {bmatrix} -1&3\\1&1\end {bmatrix}$

验证：看原来单位正方形的右上点(1,1)是否都被映射到平行四边形的右上点(2,2):

$T1[11]=[3−111][11]=[22]T_1\begin {bmatrix} 1\\1\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} 3&-1\\1&1\end {bmatrix}\begin {bmatrix} 1\\1\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} 2\\2\end {bmatrix}$

$T2[11]=[−1311][11]=[22]T_2\begin {bmatrix} 1\\1\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} -1&3\\1&1\end {bmatrix}\begin {bmatrix} 1\\1\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} 2\\2\end {bmatrix}$

都是成立的。

总结：
求出空间中所有单位向量的线性变化矩阵 $Te_1=T(e_1)$ , $Te2=T(e2),⋯Te_2=T(e_2), \cdots$ ，再拼合起来： $T=[T(e1)T(e2)⋯T(en)]T=[T(e_1) \qquad T(e_2) \qquad \cdots \qquad T(e_n)]$ ，这就是该线性变换的完整矩阵，对 $n$ 维空间 $R^n$ 中的任意点 $x=[x1x2⋮xn]x=\begin {bmatrix} x_1\\x_2\\ \vdots \\x_n\end {bmatrix}$ ，经过线性变换 $T$ 后所得的结果为：
$T(x)=[T(e1)T(e2)⋯T(en)][x1x2⋮xn]T(x)=[T(e_1) \qquad T(e_2) \qquad \cdots \qquad T(e_n)]\begin {bmatrix} x_1\\x_2\\ \vdots \\x_n\end {bmatrix}$

关于向量空间 $R^n$

所有两个元素的向量（如： $u=[13]u=\begin {bmatrix} 1\\3\end {bmatrix}$ ， $v=[45]v=\begin {bmatrix} 4\\5\end {bmatrix}$ 等）集合记为 $R^2$ ，其中 $R$ 表示向量中的元素为实数，指数2表示每个向量包含两个元素。所以，同理可知 $R^n$ 表示所有n个元素（所有元素为实数）的向量集合。

$R^2$ 可表示平面的空间， $R^3$ 表示三维空间，以此类推。

向量空间 $R^n$ 的子空间Span

定义：

若 $v_1$ ， $v_2$ ， $…\dots$ ， $v_p$ 是 $R^n$ 中的向量，则 $v_1$ ， $v_2$ ， $…\dots$ ， $v_p$ 构成的所有线性组合所成的集合可以用Span{ $v_1$ ， $v_2$ ， $…\dots$ ， $v_p$ }表示，称为由 $v_1$ ， $v_2$ ， $…\dots$ ， $v_p$ 所生成（或张成）的 $R^n$ 的子集，也可以称Span{ $v_1$ ， $v_2$ ， $…\dots$ ， $v_p$ }为由 $v_1$ ， $v_2$ ， $…\dots$ ， $v_p$ 所生成（或张成）的子空间。如果一个集合仅包含零向量，则叫零子空间。

也就是说Span{ $v_1$ ， $v_2$ ， $…\dots$ ， $v_p$ }是形如 $c1v1+c2v2+⋯+cpvpc_1v_1+c_2v_2+\cdots+c_pv_p$ 的向量的集合，其中 $c_1$ ， $c_2$ ， $…\dots$ ， $c_p$ 是标量。

要判断向量 $b$ 是否属于Span{ $v_1$ ， $v_2$ ， $…\dots$ ， $v_p$ }，就是判断方程
$x1v1+x2v2+⋯+xpvp=bx_1v_1+x_2v_2+\cdots+x_pv_p=b$
是否有解，或等价地，判断增广矩阵为 $[v1v2⋯vpb][v_1\quad v_2 \quad \cdots \quad v_p \quad b]$ 的线性方程组是否有解。

由上述定义可知，Span{ $v_1$ ， $v_2$ ， $…\dots$ ， $v_p$ }包含零向量和任何一个子向量 $v_p$ 的任何倍数，即他们所有的线性组合。

例如：
设 $v$ 是 $R^3$ 中的向量，那么Span{ $v$ }就是 $v$ 的所有标量倍数的集合，也就是 $R^3$ 中通过 $v$ 和原点的直线上所有点的集合。

设 $u$ 和 $v$ 是 $R^3$ 中的非零向量， $u$ 和 $v$ 之间不是倍数关系（即不在一条直线上），那么Span{ $u$ , $v$ }就是 $R^3$ 中包含 $u$ 、 $v$ 和原点的平面，Span{ $u$ , $v$ }中包含过 $u$ 和原点的直线，以及过 $v$ 和原点的直线。

矩阵的列空间（ $ACol\space A$ ）和零空间（ $ANul\space A$ ）

1. 列空间：矩阵 $A$ 的列空间是 $A$ 各列的线性组合的集合，记作 $ACol\space A$ 。当线性方程组写成 $A x = b$ 的形式时， $ACol\space A$ 是所有使得方程组有解的向量 $b$ 的集合。

如果 $A=[a1…an]A=[a_1\dots a_n]$ ，其各列属于 $R^m$ ，则Col A和Span{ $a_1$ , $…\dots$ , $a_n$ }相同。

例：设矩阵 $A=[1−3−4−46−2−376]A=\begin{bmatrix}1&-3 &-4\\-4&6&-2\\-3&7&6\end{bmatrix}$ ， $b=[33−4]b=\begin{bmatrix}3\\3\\-4\end{bmatrix}$ ，确定 $b$ 是否属于矩阵 $A$ 的列空间。

解：
根据上述定义，要判断向量 $b$ 是否属于Span{ $v_1$ ， $v_2$ ， $…\dots$ ， $v_p$ }，就是判断方程
$x1v1+x2v2+⋯+xpvp=bx_1v_1+x_2v_2+\cdots+x_pv_p=b$
是否有解，或等价地，判断增广矩阵为 $[v1v2⋯vpb][v_1\quad v_2 \quad \cdots \quad v_p \quad b]$ 的线性方程组是否有解。

所以，如果向量 $b$ 是 $A$ 的各列的线性组合，就可以写成 $A x$ 的形式，其中 $x$ 属于 $R^3$ ，也就是说，当且仅当方程 $A x = b$ 有解时， $b$ 才属于矩阵 $A$ 的列空间。

增广矩阵 $[Ab][A\quad b]$ 化简：

$[1−3−43−46−23−376−4]→[1−3−430−6−18150−2−65]→[1−3−430−6−18150000]\begin{bmatrix}1&-3 &-4&3\\-4&6&-2&3\\-3&7&6&-4\end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix}1&-3 &-4&3\\0&-6&-18&15\\0&-2&-6&5\end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix}1&-3 &-4&3\\0&-6&-18&15\\0&0&0&0\end{bmatrix}$

可见方程组 $A x = b$ 是相容的，所以 $b$ 向量属于 $ACol\space A$ 。

相容（Consistent）、不相容（Inconsistent）：

如果一个线性方程组是相容的，则它有一个解或无穷多个解；反之，如果不相容，则无解。

所以 $b$ 属于 $ACol\space A$ 。

总结：当线性方程组可以写成 $A x = b$ 的形式时， $A$ 的列空间是所有使得方程组有解的向量 $b$ 的集合。

2. 零空间：矩阵 $A$ 的零空间是齐次方程 $A x = 0$ 的所有解的集合，记作 $\space A$ 。

当 $A$ 有 $n$ 列时， $A x = 0$ 的解属于 $R^n$ ， $A$ 的零空间是 $R^n$ 的子集。 $\space A$ 具有 $R^n$ 子空间的性质。

若要验算一个给定的向量 $v$ 是否属于 $\space A$ ，只要计算 $A v$ 是否为零向量即可，如果 $A v = 0$ 成立，则向量 $v$ 属于 $\space A$ ，反之则不属于。

因为 $\space A$ 是用其中一个向量必须满足的一个条件来描述的，所以这是隐式定义。但是列空间Col A可以由矩阵 $A$ 的各列线性组合构造出来，所以 $\space A$ 属于显示定义。如果要构造 $\space A$ 的显示描述，则要先解方程 $A x = 0$ ，再把解写成参数向量形式即可，见下面的例子。

3.子空间的基

定义： $R^n$ 中子空间 $H$ 的一组基是 $H$ 中一个线性无关集，它生成 $H$ 。

例：求矩阵 $A=[−36−11−71−223−12−458−4]A=\begin{bmatrix}-3&6&-1&1&-7\\1&-2&2&3&-1\\2&-4&5&8&-4\end{bmatrix}$ 的零空间的基。

解：
首先建立矩阵 $A$ 的零空间Nul A的显示描述：

解方程 $A x = 0$ ，并把解写成参数向量形式：

$[A0]=[1−20−1300012−20000000][A\quad 0]=\begin{bmatrix}1&-2&0&-1&3&0\\0&0&1&2&-2&0\\0&0&0&0&0&0\end{bmatrix}$

通解为：

$[x1x2x3x4x5]=[2x2+x4−3x5x2−2x4+2x5x4x5]=[2x2x2000]+[x40−2x4x40]+[−3x502x50x5]=x2[21000]+x4[10−210]+x5[−30201]\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2x_2+x_4-3x_5\\x_2\\-2x_4+2x_5\\x_4\\x_5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2x_2\\x_2\\0\\0\\0\end{bmatrix}+ \begin{bmatrix}x_4\\0\\-2x_4\\x_4\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-3x_5\\0\\2x_5\\0\\x_5\end{bmatrix}=x_2\begin{bmatrix}2\\1\\0\\0\\0\end{bmatrix}+x_4\begin{bmatrix}1\\0\\-2\\1\\0\end{bmatrix}+x_5\begin{bmatrix}-3\\0\\2\\0\\1\end{bmatrix}$

所以，令 $x=[x1x2x3x4x5]x=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\end{bmatrix}$ ， $u=[21000]u=\begin{bmatrix}2\\1\\0\\0\\0\end{bmatrix}$ ，
$v=[10−210]v=\begin{bmatrix}1\\0\\-2\\1\\0\end{bmatrix}$ ，
$w=[−30201]w=\begin{bmatrix}-3\\0\\2\\0\\1\end{bmatrix}$ ，

则通解的参数向量形式，也就是 $\space A$ （矩阵 $A$ 的零空间）为：

$x=x_2u+x_4v+x_5w$

通解的参数向量表达式表明， $\space A$ 与 $u$ ， $v$ ， $w$ 组成的所有线性组合的集合是一致的，因此可以说{ $u$ ， $v$ ， $w$ }生成了Nul A。

可以考察 $u$ ， $v$ ， $w$ 是线性相关还是线性无关：

因为， $0=x_2u+x_4v+x_5w$ 只有平凡解，所以 $u$ ， $v$ ， $w$ 是线性无关的。

所以{ $u$ ， $v$ ， $w$ }是 $\space A$ 的一组基。

维数（Dimension）

背景：如果子空间 $H$ 有一组基包含 $p$ 个向量，则 $H$ 的每个基都正好包含 $p$ 个向量。

维数定义：非零子空间 $H$ 的维数表示为 $Hdim\space H$ ，它是 $H$ 的任一个基的向量个数。零子空间 ${0\}$ 的维数定义为0。

例：上例中，矩阵 $A$ 的零空间的一组基{ $u$ ， $v$ ， $w$ }含有3个向量，所以这里我们称矩阵 $A$ 的零空间的维数为3，记作 $A)=3dim\space (Nul\space A)=3$ .

关于“生成”

例如，在方程 $A x = b$ 中，如果矩阵 $A$ 的列生成 $R^m$ 则表示， $R^m$ 中每个向量 $b$ 都是 $A$ 的各列的线性组合。

一般地， $R^m$ 中向量集{ $v_1$ ， $v_2$ ， $…\dots$ ， $v_p$ }生成 $R^m$ 就是说， $R^m$ 中每个向量都是 $v_1$ ， $v_2$ ， $…\dots$ ， $v_p$ 的线性组合，记作：Span{ $v_1$ ， $v_2$ ， $…\dots$ ， $v_p$ }= $R^m$ 。

线性相关、线性无关

定义：
如果 $R^n$ 中一组向量{ $v_1$ ， $v_2$ ， $…\dots$ ， $v_p$ }是线性无关的，则向量方程：
$x1v1+x2v2+⋯+xpvp=0x_1v_1+x_2v_2+\dots +x_pv_p=0$
仅有平凡解（Trivial Solution），即 $x1=x2=⋯=xp=0x_1=x_2=\dots =x_p=0$ 。

如果向量组（集）{ $v_1$ ， $v_2$ ， $…\dots$ ， $v_p$ }是线性相关的，则方程：
$x1v1+x2v2+⋯+xpvp=0x_1v_1+x_2v_2+\dots +x_pv_p=0$ 存在不全为零的解（非平凡解）。

例：
判断矩阵 $A=[01412−1580]A=\begin{bmatrix}0&1&4\\1&2&-1\\5&8&0\end{bmatrix}$ 的各列是线性相关还是线性无关。

解：
先求解齐次方程 $A x = 0$ ：

$[A0]=[014012−105800]→[12−1001400−250]→[12−10014000130][A\quad 0]=\begin{bmatrix}0&1&4&0\\1&2&-1&0\\5&8&0&0\end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix}1&2&-1&0\\0&1&4&0\\0&-2&5&0\end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix}1&2&-1&0\\0&1&4&0\\0&0&13&0\end{bmatrix}$

即 $x_3=0$ ， $x_2=0$ ， $x_1=0$ ，所以方程 $A x = 0$ 仅有平凡解，矩阵 $A$ 的各列线性无关。

矩阵的线性变换，关于向量空间Rn，子空间Span，维数（Dimension），相容与不相容，矩阵的零空间Nul与列空间Col，线性相关与不相关，子空间的基

关于向量空间RnR^nRn

向量空间RnR^nRn的子空间Span

矩阵的列空间（Col ACol\space ACol A）和零空间（Nul ANul\space ANul A）

1. 列空间：矩阵AAA的列空间是AAA各列的线性组合的集合，记作Col ACol\space ACol A。当线性方程组写成Ax=bAx=bAx=b的形式时，Col ACol\space ACol A是所有使得方程组有解的向量bbb的集合。