矩阵的线性变换，关于向量空间Rn，子空间Span，维数（Dimension），相容与不相容，矩阵的零空间Nul与列空间Col，线性相关与不相关，子空间的基

最新推荐文章于 2024-01-17 23:09:02 发布

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#线性代数 #matlab

例题1：求一个 $2×22\times 2$ 的线性变换矩阵 $T$ ，使其可以将单位向量 $e1=[10]e_1=\begin {bmatrix} 1\\0\end {bmatrix}$ 变换到 $e_1+e_2$ ，且将单位向量 $e2=[01]e_2=\begin {bmatrix} 0\\1\end {bmatrix}$ 变换到 $e_1-e_2$ 。

解：
设此变换为:
$T=[t11t12t21t22]T=\begin {bmatrix} t_{11}&t_{12}\\t_{21}&t_{22}\end {bmatrix}$

把单位向量 $e1=[10]e_1=\begin {bmatrix} 1\\0\end {bmatrix}$ 变换到 $e_1+e_2$ ，则有：

$Te1=[t11t12t21t22][10]=[t11t21]=[11]=e1+e2Te_1=\begin {bmatrix} t_{11}&t_{12}\\t_{21}&t_{22}\end {bmatrix}\begin {bmatrix} 1\\0\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} t_{11}\\t_{21}\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} 1\\1\end {bmatrix}=e_1+e_2$

即： $t_{11}=1$ ， $t_{21}=1$

把单位向量 $e2=[01]e_2=\begin {bmatrix} 0\\1\end {bmatrix}$ 变换到 $e_1-e_2$ ，则有：

$Te2=[t11t12t21t22][01]=[t12t22]=[1−1]=e1−e2Te_2=\begin {bmatrix} t_{11}&t_{12}\\t_{21}&t_{22}\end {bmatrix}\begin {bmatrix} 0\\1\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} t_{12}\\t_{22}\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} 1\\-1\end {bmatrix}=e_1-e_2$

即： $t_{12}=1$ ， $t_{22}=-1$

所以此变换 $T=[111−1]T=\begin {bmatrix} 1&1\\1&-1\end {bmatrix}$

例题2：如果一个 $3×33\times 3$ 的线性变换矩阵 $T$ ，使其可以将单位向量 $e1=[100]e_1=\begin {bmatrix} 1\\0\\0\end {bmatrix}$ 变换到 $[3−21]\begin {bmatrix} 3\\-2\\1\end {bmatrix}$ ，把单位向量 $e2=[010]e_2=\begin {bmatrix} 0\\1\\0\end {bmatrix}$ 变换到 $[607]\begin {bmatrix} 6\\0\\7\end {bmatrix}$ ，把单位向量 $e3=[001]e_3=\begin {bmatrix} 0\\0\\1\end {bmatrix}$ 变换到 $[54−1]\begin {bmatrix} 5\\4\\-1\end {bmatrix}$ ，求此变换矩阵 $T$ 。

解：
设此变换为:
$T=[t11t12t13t21t22t23t31t32t33]T=\begin {bmatrix} t_{11}&t_{12}&t_{13}\\t_{21}&t_{22}&t_{23}\\t_{31}&t_{32}&t_{33}\end {bmatrix}$

把单位向量 $e1=[100]e_1=\begin {bmatrix} 1\\0\\0\end {bmatrix}$ 变换到 $[3−21]\begin {bmatrix} 3\\-2\\1\end {bmatrix}$ ，即：

$Te1=[t11t12t13t21t22t23t31t32t33][100]=[t11t21t31]=[3−21]Te_1=\begin {bmatrix} t_{11}&t_{12}&t_{13}\\t_{21}&t_{22}&t_{23}\\t_{31}&t_{32}&t_{33}\end {bmatrix}\begin {bmatrix} 1\\0\\0\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} t_{11}\\t_{21}\\t_{31}\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} 3\\-2\\1\end {bmatrix}$

把单位向量 $e2=[010]e_2=\begin {bmatrix} 0\\1\\0\end {bmatrix}$ 变换到 $[607]\begin {bmatrix} 6\\0\\7\end {bmatrix}$ ，即：

$Te2=[t11t12t13t21t22t23t31t32t33][010]=[t12t22t32]=[607]Te_2=\begin {bmatrix} t_{11}&t_{12}&t_{13}\\t_{21}&t_{22}&t_{23}\\t_{31}&t_{32}&t_{33}\end {bmatrix}\begin {bmatrix} 0\\1\\0\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} t_{12}\\t_{22}\\t_{32}\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} 6\\0\\7\end {bmatrix}$

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