矩阵的逆及求逆矩阵的方法，可逆矩阵定理与判定方法，（非）奇异矩阵，方程Ax=b解法，Hilbert矩阵及其逆的求法，条件数（Condition Number）及其计算方法

矩阵的逆的定义：一个$n\times n$的矩阵$A$是可逆的，如果存在一个$n\times n$的矩阵$C$使得：
$$CA=I,且AC=I$$
其中$I=I_n$为$n\times n$的单位矩阵，此时矩阵$C$就是矩阵$A$的逆，矩阵$A$的逆记为矩阵$A^{-1}$。若矩阵$A$可逆，那么它的逆是唯一的。

奇异矩阵与非奇异矩阵：
不可逆矩阵有时也叫奇异矩阵，可逆矩阵有时也成为非奇异矩阵。

求矩阵逆的方法：
把$n\times n$的方阵$A$与同样是$n\times n$的单位矩阵$I$排在一起，构成增广矩阵$[AI]$，对此增广矩阵进行初等行变换，直到化简为$[I{A}^{-1}]$，这样矩阵$A$的逆$A^{-1}$就出现在增广矩阵右边。如果不能做如上化简，则表明矩阵$A$没有逆。

可逆矩阵定理

  假设矩阵$A$为$n\times n$的方阵，以下命题是等价的，即它们同时为真或同时为假：

1. $A$是可逆矩阵；
2. $A$行等价于$n$阶单位阵（即$A$经过若干次初等行变换可以变成$n$阶的$I$）；
3. A有$n$个主元位置；
4. 方程$Ax=0$仅有平凡解；
5. $A$的各列线性无关；
6. 线性变换$x|\to Ax$是一对一的；
7. 对$R^n$中任意$b$，方程$Ax=b$至少有一个解；
8. $A$的各列生成$R^n$；
9. 线性变换$x|\to Ax$把$R^n$映射到$R^n$；
10. 存在$n\times n$矩阵$C$使得$CA=I$ ；
11. 存在$n\times n$矩阵$D$使得$AD=I$；
12. $A^T$是可逆矩阵；
13. $A$的列向量构成$R^{}$