算法沉淀 —— 动态规划篇（简单多状态dp问题下）

前言

几乎所有的动态规划问题大致可分为以下5个步骤，后续所有问题分析都将基于此

• 1.、状态表示：通常状态表示分为基本分为以下两种，其中更是以第一种为甚。

  • 以i为结尾，dp[i] 表示什么，通常为代求问题（具体依题目而定）
  • 以i为开始，dp[i]表示什么，通常为代求问题（具体依题目而定）

• 2、状态转移方程
  *以上述的dp[i]意义为以i位置为分界， 通过最近一步来分析和划分问题，由此来得到一个有关dp[i]的状态转移方程。

• 3、dp表创建，初始化

  • 动态规划问题中，如果直接使用状态转移方程通常会伴随着越界访问等风险，所以一般需要初始化。而初始化最重要的两个注意事项便是：保证后续结果正确，不受初始值影响；下标的映射关系。
  • 而初始化一般分为以下两种：
    • 直接初始化开头的几个值。
    • 一维空间大小+1，下标从1开始；二维增加一行/一列。

• 4、填dp表、填表顺序：根据状态转移方程来确定填表顺序。

• 5、确定返回值

一、买卖股票的最佳时机含冷冻期

【题目链接】：309. 买卖股票的最佳时机含冷冻期
【题目】：

 给定一个整数数组prices，其中第 prices[i] 表示第 i 天的股票价格 。​
 设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:
 卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。
 注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

【示例】：

输入: prices = [1,2,3,0,2]
输出: 3
解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]

【分析】：
 我们可以定义dp[i]表示第i天结束后，买卖股票的最大利润。但我们发现第i天股票分为3种状态：手中有股票、无股票、处于冷冻区。所以我们可以定义一个（n x 3）的二维数组，其中dp[i][0]表示第i天结束后，手中有股票的最大利润；dp[i][1]表示第i天结束后，手中无股票的最大利润；dp[i][2]表示第i天结束后，股票处于冷冻区的最大利润。

状态转移方程推导：
 第i天结束后，手中有股票的情况可由：i-1天结束手中有股票第i天什么都不做、i-1天无股票在第i天买入股票两种情况得到。所以可得状态状态转移方程为 dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);
 第i天结束后，手中无股票的情况可由：：第i-1天结束手中有股票在第i天卖掉股票、第i-1天股票处于冷冻区在第i天什么都不做两种情况得到。所以可得状态状态转移方程：dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][2]);
 第i天结束后，股票处于冷冻区只能由第i-1天手中有股票第i天将股票卖出所得。所以可得状态状态转移方程：dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];

 初始化：显然当i为0时，状态转移方程不适应，需要特殊处理。这里我们可以将第0天的买卖股票状态直接初始化好(具体参考代码)。然后从第2天开始，填dp表！！
 最后返回第n天结束后，返回手中无股票和股票处于冷冻区的最大值即可！！
【代码编写】：

class Solution {
   
   
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
   
   
        int n = prices.size();
        vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(3));
        //初始化
        dp[0][0] = -prices[0];//第1天买人股票
        //填表
        for(int i = 1; i < n; i++)
        {
   
   
            dp[i][0] = max(dp[