前言
几乎所有的动态规划问题大致可分为以下5个步骤,后续所有问题分析都将基于此
-
1.、状态表示:通常状态表示分为基本分为以下两种,其中更是以第一种为甚。
以i为结尾
,dp[i] 表示什么,通常为代求问题(具体依题目而定)以i为开始
,dp[i]表示什么,通常为代求问题(具体依题目而定)
-
2、状态转移方程
*以上述的dp[i]意义为以i位置为分界, 通过最近一步来分析和划分问题
,由此来得到一个有关dp[i]的状态转移方程。 -
3、dp表创建,初始化
- 动态规划问题中,如果直接使用状态转移方程通常会伴随着
越界访问
等风险,所以一般需要初始化。而初始化最重要的两个注意事项便是:保证后续结果正确,不受初始值影响;下标的映射关系
。 - 而
初始化一般分为以下两种:
直接初始化开头的几个值。
一维空间大小+1,下标从1开始;二维增加一行/一列
。
- 动态规划问题中,如果直接使用状态转移方程通常会伴随着
-
4、填dp表、填表顺序:根据状态转移方程来确定填表顺序。
-
5、确定返回值
一、不同路径1
【题目链接】:LCR 098. 不同路径
【题目】:
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 (起始点在下图中标记为 “Start” )。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角(在下图中标记为 “Finish” )。
问总共有多少条不同的路径?
【分析】:
这是个二维数组问题。我们定义dp[i][j]表示机器人走到下标为[i][j]位置时的总路径数。显然机器人要走到[i][j]位置,只能从[i][j-1]向右走、[i-1][j]向下走。所以状态转移方程为dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
。 但当i = 0或j =0时,显然状态转移方程不适应,需要特殊处理。这里我们采用的办法时,横纵都新增一行。然后我们还需将dp[0][1]或dp[1][0]初始化为1。
接下我仅需从左往右、从上到下依次填表。最后返回结果即可!!
【代码实现】:
class Solution {
public:
int uniquePaths(int m, int n) {
vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1));//创建dp表
//初始化
dp[1][0] = 1;
//填表
for(int i = 1; i <= m; i++)
for(int j = 1; j <= n; j++)
dp[i][j] = dp[i -1][j] + dp[i][j - 1];
return dp[m][n];
}
};