算法沉淀 —— 动态规划篇(路径问题)

本文详细介绍了四种动态规划问题的解决方案,包括不同路径问题(机器人移动)、珠宝的最高价值、下降路径最小和、地下城游戏中的最低初始健康点数。通过状态转移方程和初始化策略,展示了如何构建和填充dp表以求解这些问题。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

前言

几乎所有的动态规划问题大致可分为以下5个步骤,后续所有问题分析都将基于此

  • 1.、状态表示:通常状态表示分为基本分为以下两种,其中更是以第一种为甚。

    • 以i为结尾,dp[i] 表示什么,通常为代求问题(具体依题目而定)
    • 以i为开始,dp[i]表示什么,通常为代求问题(具体依题目而定)
  • 2、状态转移方程
    *以上述的dp[i]意义为以i位置为分界, 通过最近一步来分析和划分问题,由此来得到一个有关dp[i]的状态转移方程。

  • 3、dp表创建,初始化

    • 动态规划问题中,如果直接使用状态转移方程通常会伴随着越界访问等风险,所以一般需要初始化。而初始化最重要的两个注意事项便是:保证后续结果正确,不受初始值影响;下标的映射关系
    • 初始化一般分为以下两种:
      • 直接初始化开头的几个值。
      • 一维空间大小+1,下标从1开始;二维增加一行/一列
  • 4、填dp表、填表顺序:根据状态转移方程来确定填表顺序。

  • 5、确定返回值

一、不同路径1

【题目链接】:LCR 098. 不同路径
【题目】:

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 (起始点在下图中标记为 “Start” )。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角(在下图中标记为 “Finish” )。
问总共有多少条不同的路径?

【分析】:
 这是个二维数组问题。我们定义dp[i][j]表示机器人走到下标为[i][j]位置时的总路径数。显然机器人要走到[i][j]位置,只能从[i][j-1]向右走、[i-1][j]向下走。所以状态转移方程为dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]。 但当i = 0或j =0时,显然状态转移方程不适应,需要特殊处理。这里我们采用的办法时,横纵都新增一行。然后我们还需将dp[0][1]或dp[1][0]初始化为1。
 接下我仅需从左往右、从上到下依次填表。最后返回结果即可!!
【代码实现】:

class Solution {
   
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
   
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1));//创建dp表
        //初始化
        dp[1][0] = 1;
        //填表
        for(int i = 1; i <= m; i++)
            for(int j = 1; j <= n; j++)
                dp[i][j] = dp[i -1][j] + dp[i][j - 1];
        return dp[m][n];
    }
};

二、珠

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