算法沉淀 —— 动态规划篇（路径问题）

前言

几乎所有的动态规划问题大致可分为以下5个步骤，后续所有问题分析都将基于此

• 1.、状态表示：通常状态表示分为基本分为以下两种，其中更是以第一种为甚。

  • 以i为结尾，dp[i] 表示什么，通常为代求问题（具体依题目而定）
  • 以i为开始，dp[i]表示什么，通常为代求问题（具体依题目而定）

• 2、状态转移方程
  *以上述的dp[i]意义为以i位置为分界， 通过最近一步来分析和划分问题，由此来得到一个有关dp[i]的状态转移方程。

• 3、dp表创建，初始化

  • 动态规划问题中，如果直接使用状态转移方程通常会伴随着越界访问等风险，所以一般需要初始化。而初始化最重要的两个注意事项便是：保证后续结果正确，不受初始值影响；下标的映射关系。
  • 而初始化一般分为以下两种：
    • 直接初始化开头的几个值。
    • 一维空间大小+1，下标从1开始；二维增加一行/一列。

• 4、填dp表、填表顺序：根据状态转移方程来确定填表顺序。

• 5、确定返回值

一、不同路径1

【题目链接】：LCR 098. 不同路径
【题目】：

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问总共有多少条不同的路径？

【分析】：
 这是个二维数组问题。我们定义dp[i][j]表示机器人走到下标为[i][j]位置时的总路径数。显然机器人要走到[i][j]位置，只能从[i][j-1]向右走、[i-1][j]向下走。所以状态转移方程为dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]。 但当i = 0或j =0时，显然状态转移方程不适应，需要特殊处理。这里我们采用的办法时，横纵都新增一行。然后我们还需将dp[0][1]或dp[1][0]初始化为1。
 接下我仅需从左往右、从上到下依次填表。最后返回结果即可！！
【代码实现】：

class Solution {
   
   
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
   
   
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1));//创建dp表
        //初始化
        dp[1][0] = 1;
        //填表
        for(int i = 1; i <= m; i++)
            for(int j = 1; j <= n; j++)
                dp[i][j] = dp[i -1][j] + dp[i][j - 1];
        return dp[m][n];
    }
};

二、珠宝的最高价值

【题目链接】：