【算法优选】 动态规划之简单多状态dp问题——壹

🎋前言

动态规划相关题目都可以参考以下五个步骤进行解答：

1. 状态表⽰

2. 状态转移⽅程

3. 初始化

4. 填表顺序

5. 返回值

后面题的解答思路也将按照这五个步骤进行讲解。

🎍按摩师

🚩题目描述

一个有名的按摩师会收到源源不断的预约请求，每个预约都可以选择接或不接。在每次预约服务之间要有休息时间，因此她不能接受相邻的预约。给定一个预约请求序列，替按摩师找到最优的预约集合（总预约时间最长），返回总的分钟数。

注意：本题相对原题稍作改动

• 示例 1：
  输入： [1,2,3,1]
  输出： 4
  解释： 选择 1 号预约和 3 号预约，总时长 = 1 + 3 = 4。
• 示例 2：
  输入： [2,7,9,3,1]
  输出： 12
  解释： 选择 1 号预约、 3 号预约和 5 号预约，总时长 = 2 + 9 + 1 = 12。
• 示例 3：
  输入： [2,1,4,5,3,1,1,3]
  输出： 12
  解释： 选择 1 号预约、 3 号预约、 5 号预约和 8 号预约，总时长 = 2 + 4 + 3 + 3 = 12。

class Solution {
   
    public int massage(int[] nums) {
   

    }
}

🚩算法思路：

1. 状态表⽰：

对于简单的线性 dp ，我们可以⽤「经验+题⽬要求」来定义状态表⽰：

• 以某个位置为结尾；
• 以某个位置为起点。

这⾥我们选择⽐较常⽤的⽅式，以某个位置为结尾，结合题⽬要求，定义⼀个状态表⽰：
dp[i] 表⽰：选择到 i 位置时，此时的最⻓预约时⻓。

但是我们这个题在 i 位置的时候，会⾯临「选择」或者「不选择」两种抉择，所依赖的状态需要细分：

• f[i] 表⽰：选择到 i 位置时， nums[i] 必选，此时的最⻓预约时⻓；
• g[i] 表⽰：选择到 i 位置时， nums[i] 不选，此时的最⻓预约时⻓。

2. 状态转移⽅程：

因为状态表⽰定义了两个，因此我们的状态转移⽅程也要分析两个：
对于 f[i] ：

• 如果 nums[i] 必选，那么我们仅需知道 i - 1 位置在不选的情况下的最⻓预约时⻓，然后加上 nums[i] 即可，因此 f[i] = g[i - 1] + nums[i] 。

对于 g[i] ：

• 如果 nums[i] 不选，那么 i - 1 位置上选或者不选都可以。因此，我们需要知道 i- 1 位置上选或者不选两种情况下的最⻓时⻓，因此g[i] = max(f[i - 1], g[i- 1]) 。

3. 初始化：
   这道题的初始化⽐较简单，因此⽆需加辅助节点，仅需初始化 f[0] = nums[0], g[0] = 0 即可。

4. 填表顺序
   根据「状态转移⽅程」得「从左往右，两个表⼀起填」。

5. 返回值
   根据「状态表⽰」，应该返回 max(f[n - 1], g[n - 1]) 。

🚩代码实现

class Solution
{
   
	public int massage(int[] nums)
	{
   
		// 1. 创建 dp 表
		// 2. 初始化
		// 3. 填表
		// 4. 返回值
		int n = nums.length;
		if(n == 0) return 0; // 处理边界条件
		int[] f = new int[n];
		int[] g = new int[n];
		f[0] = nums[0];
		for(int i = 1; i < n; i++)
		{
   
			f[i