算法沉淀——动态规划篇（子数组系列问题（上））

前言

几乎所有的动态规划问题大致可分为以下5个步骤，后续所有问题分析都将基于此

• 1.、状态表示：通常状态表示分为基本分为以下两种，其中更是以第一种为甚。

  • 以i为结尾，dp[i] 表示什么，通常为代求问题（具体依题目而定）
  • 以i为开始，dp[i]表示什么，通常为代求问题（具体依题目而定）

• 2、状态转移方程
  *以上述的dp[i]意义为以i位置为分界， 通过最近一步来分析和划分问题，由此来得到一个有关dp[i]的状态转移方程。

• 3、dp表创建，初始化

  • 动态规划问题中，如果直接使用状态转移方程通常会伴随着越界访问等风险，所以一般需要初始化。而初始化最重要的两个注意事项便是：保证后续结果正确，不受初始值影响；下标的映射关系。
  • 而初始化一般分为以下两种：
    • 直接初始化开头的几个值。
    • 一维空间大小+1，下标从1开始；二维增加一行/一列。

• 4、填dp表、填表顺序：根据状态转移方程来确定填表顺序。

• 5、确定返回值

一、最大子数组和

【题目链接】：53. 最大子数组和
【题目】：

 给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。
&emdp;子数组是数组中的一个连续部分。

【示例】：

输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6
解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。

【分析】：
 我们可以定义dp[i]表示以i为结尾，最大连续子数组和。此时连续子数组长度分为1和大于1，分别对应如下情况：

1. 如果dp[i-1]大于0，此时最大连续子数组和为dp[i-1] + nums[i]。长度大于1。
2. 如果dp[i-1] <= 0,此时最大的连续子数组和就是nums[i]本身。长度为1.

 所以我们可以得到状态转移方程为：dp[i] = max(nums[i - 1], dp[i - 1] + nums[i - 1])。

 但显然当i为0时，状态转移方程不适用。这里我们给出的方法时dp表空间额外增加1。同时为了保证在使用状态转移方程，新增空间对后续填表结果不产生印象。我们将dp[0]初始化为0即可。

【代码编写】：

class Solution {
   
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
   
        int n = nums.size();
        vector<int> dp(n + 1);
        int ret = INT_MIN;
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
   
            dp[i] = max(nums[i - 1], dp[i - 1] + nums[i - 1]);
            ret =