CF 702F T-shirt 奇怪的平衡树维护+超强复杂度证明

题目大意

给定$N$件T-shirt，每件T-shirt有一个$Q_i,C_i$表示花费和价值。现在我们的选择策略是这样的：把价值从大到小排序，价值相同的把花费从小到大排序，对于拥有的初始金钱，我们按排序后的数组从前往后尽量取T-shirt，收益就是取的T-shirt的数目。现在有$M$组询问，每组询问有个初始金钱$B_i$，问你每组询问的收益。

$N，M \leq 2 * 10^5$
$B_i, C_i, Q_i \leq 10^9$

解题思路

一拿到题，我们发现一组一组的询问去做根本无从下手，复杂度根本过不去。那么我们就考虑吧所有询问一起做。

我们把所有的询问扔到一颗平衡树里面，最暴力的思想就是把T-shirt从前往后枚举，我们可以的到可以买这件T-shirt的区间，我们把这个区间的没个数减去$C_i$然后把平衡树重构。这样显然是会超时的，因为重构平衡树实在是太慢了……但是我们知道可持久化treap合并两个平衡树的复杂度是log的，但是要保证一颗平衡树的最小值比另一颗平衡树的最大值大。那么我们就可以把原来的平衡树分成减了$C_i$和没减$C_i$两个部分，我们想用可持久化treap合并，假定我们要保证前一部分的最小值大于后一部分的最大值，我们就可以把不符合的数先暴力加入另一颗，然后再整体合并。这复杂度会超？其实可以证明不会！

首先可持久化treap合并的复杂度是$O(NlogM)$是没问题的，关键是暴力插入的那一部分。那么我们就来算一下它的复杂度：

我们设后半部分（即没减$C_i$的部分）的最大值是a，前半部分（即减了$C_i$的部分）其中一个数是b，$C_i$表示为$c$。假设b要暴力插入，那么有以下几条式子：
$a<c$
$b-c<a$
可以推出：
$b-c<c$
即
$b<2c，\frac{b}{2}<c$

什么意思？就是说没每次出现b要暴力插入时，减去的$C_i$至少为$\frac{b}{2}$就是说最多插入log次！那么包里插入的复杂度就是$O(MlogB_ilogM)$，所以总的复杂度是$O((NlogM+MlogB_ilogM)$时限是4s，完全可以跑的过！

程序

由于这题没打，附上Philipsweng的程序！

#include <cstring>
#include <algorithm>
#define fe first
#define se second

using namespace std;

const int MAXN = 200005;

typedef pair<int,int> P;

struct Node
{
    int l,r,cnt,t_c,t_v;
    int key,val,siz;
}T[MAXN];

struct Shirt
{
    int pr,qu;

    bool operator <(const Shirt &a) const
    {
        return qu > a.qu || qu == a.qu && pr < a.pr;
    }
}A[MAXN];

int B[MAXN],root,N,M;

int Get_Rand()
{
    return rand() * rand();
}

void Update(int nt)
{
    T[nt].siz = T[T[nt].l].siz + T[T[nt].r].siz + 1;
}

void Mark(int nt,int t_c,int t_v)
{
    if (!nt) return;
    T[nt].cnt += t_c,T[nt].val += t_v;
    T[nt].t_c += t_c,T[nt].t_v += t_v;
}

void Down(int nt)
{
    if (!nt) return;
    Mark(T[nt].l,T[nt].t_c,T[nt].t_v),Mark(T[nt].r,T[nt].t_c,T[nt].t_v);
    T[nt].t_c = T[nt].t_v = 0;
}

int Merge(int a,int b)
{
    if (!a || !b) return a ^ b;
    Down(a),Down(b);
    if (T[a].key > T[b].key) 
    {
        T[a].r = Merge(T[a].r,b);
        Update(a);
        return a;
    }
    T[b].l = Merge(a,T[b].l);
    Update(b);
    return b;
}

P Split(int root,int siz)
{
    if (!siz) return P(0,root);
    Down(root);
    if (siz <= T[T[root].l].siz)
    {
        P tmp = Split(T[root].l,siz);
        T[root].l = tmp.se;
        Update(root);
        return P(tmp.fe,root);
    }
    P tmp = Split(T[root].r,siz - T[T[root].l].siz - 1);
    T[root].r = tmp.fe;
    Update(root);
    return P(root,tmp.se);
}

int Min(int nt)
{
    for(;T[nt].l;)
    {
        Down(nt);
        nt = T[nt].l;
    }
    return nt;
}

int Max(int nt)
{
    for(;T[nt].r;)
    {
        Down(nt);
        nt = T[nt].r;
    }
    return nt;
}

void MoveL(int &nt)
{
    if (!T[nt].l)
    {
        Down(nt);
        int r = T[nt].r;
        T[nt].r = 0;
        Update(nt);
        nt = r;
        return;
    }
    static int Stk[MAXN];
    int top = 0,bak = nt;
    for(;nt;) Stk[++ top] = nt,Down(nt),nt = T[nt].l;
    int p = Stk[top];   
    nt = Stk[top - 1];
    if (p) T[nt].l = T[p].r,T[p].r = 0,Update(p),Update(nt);
    for(;top;top --) Update(Stk[top]);
    nt = bak;
}

void Insert(int &root,int nt)
{
    int siz = 0;
    for(int j = root;j;)
    {
        Down(j);
        if (T[nt].val <= T[j].val) j = T[j].l; else
            if (T[nt].val > T[j].val) siz += 1 + T[T[j].l].siz,j = T[j].r;
    }
    P cur = Split(root,siz);
    root = Merge(Merge(cur.fe,nt),cur.se);
}

void Dfs(int root)
{
    if (!root) return;
    Down(root);
    Dfs(T[root].l),Dfs(T[root].r);
}

int main()
{
    scanf("%d", &N);
    for(int i = 1;i <= N;i ++)
        scanf("%d%d", &A[i].pr, &A[i].qu);
    sort(A + 1,A + N + 1);
    scanf("%d", &M);
    for(int i = 1;i <= M;i ++)
        scanf("%d", &B[i]);
    for(int i = 1;i <= M;i ++) T[i].key = Get_Rand(),T[i].val = B[i],T[i].siz = 1;
    for(int i = 1;i <= M;i ++) Insert(root,i);
    for(int i = 1;i <= N;i ++)
    {
        int siz = 0;
        for(int j = root;j;)
        {
            Down(j);
            if (A[i].pr <= T[j].val) j = T[j].l; else
                if (A[i].pr > T[j].val) siz += 1 + T[T[j].l].siz,j = T[j].r;
        }
        P cur = Split(root,siz);
        Mark(cur.se,1,-A[i].pr);
        for(int p,q;(p = Min(cur.se)) && (q = Max(cur.fe)) && T[p].val < T[q].val;)
        {
            MoveL(cur.se);
            Insert(cur.fe,p);
        }
        root = Merge(cur.fe,cur.se);
    }
    Dfs(root);
    for(int i = 1;i <= M;i ++)
        printf("%d%c", T[i].cnt, i == M ? '\n' : ' ');
    return 0;
}