【Codechef】B-Tree

题目描述

给出一棵$n$个点的树，边权都为$1$，以及$m$个询问，每一个询问形式如下：

给出$k$个点的集合$S=\{a_1, a_2, \cdots, a_k\}$，以及每一个点的控制范围$r_{a_i}$。
一个点$p$称为被控制的，当且仅当$\exists x\in S, dis(x, p)\leq r_x$
问有多少个点被控制。

$n, Q\leq 5\times 10^4, \sum k \leq 5\times 10^5$

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分析

part 1 简化的问题

不妨先看当$k=1$时，问题变成怎么样的了。

给出一棵树，每次询问距离点$x$的距离小于$r$的点的个数。

考虑点剖，每一个重心上存点剖子树中所有点，按照离重心距离为关键字建桶。
那么只需要在点剖树上，从$x$往上跳，沿路统计答案就可以了。
但是注意可能会有重复计算。但是考虑点剖树上某个点只有$log n$个祖先，将它们记录下来，逐个减去重复计算的就可以了。
时间复杂度$O(log^2 n)$
但是假如我们加入无用白点，那么这里可以$O(1)$地解决重复问题（只考虑另外两个儿子就可以了）
时间复杂度$O(log n )$

边剖也是类似的，不过相对来说更加好写一点。

part 2 原问题的分解

扩展到多点 虚树

当$k>1$时，我们可以引入虚树和控制范围的概念，从而将原问题转化。

虚树的构建可以利用欧拉序，首先先将每两个相邻的关键点之间最近公共祖先都加入进去。然后维护一个栈，每加入一个点，就不断退栈，直到栈顶是它的某个祖先，然后将栈顶与这个点连边，最后将这个新点压入栈。

首先先构建出这$k$个点的虚树，那么虚树中的每个点$x$，它的控制范围$l_x=max_{0\leq y<n} l_y-dis_x, y$，每个点的归属$belong_x$自然就是任意一个取得最大$l_x$的$y$。
为了统一，假如某个点不被控制，不妨将$l_x$赋为$0$，$belong_x$赋为$n$。
用spfa可以快速地计算出每个点的控制范围。

然后问题的答案就等于虚树上的每条边的答案之和。

单条边的处理方式

一条边的答案正着算似乎不好处理，用所有的虚树上点的控制范围点数和，减去重复的部分，也可以得到原来的答案。

• 性质一：设$(x, y)$是虚树上的一条边，那么当且仅当$belong_x\neq belong_y$时，才会在这条边上出现重复。
  证明：显然。
  • 性质二：对于满足性质一的边，存在唯一的$z\in path[x, y]$，使得$path[x, z]$上的点都属$x$管劾，$path(z, y]$上的点都属$y$管劾。
    证明：
    不妨令$dep_x<dep_y$，那么
    $l_x-dis(x, z)\leq l_y-dis( z, y )$
    $l_x-( dep_z-dep_x )\leq l_y-( dep_y-dep_z )$
    $dep_x+dep_y+l_x-l_y\leq 2dep_z$
    $\lceil \frac{ dep_x+dep_y+l_x-l_y }{2} \rceil \leq dep_z$
    由上面这条式子，就可以知道$z$唯一确定了一条边之间两个点的管劾范围。

  part 3 更深入的分析

  

  通过这样的划分以后，我们计算答案的思路就变成下面两步

  • 假如某个点在新图中存在势力范围，那么统计它势力范围内的点数，将其求和。

  • 对于每条两个端点的统治势力不同的点，计算它们重叠部分并减去之。

  对于第一个问题，套用“简化的问题”的思路，就可以简单地解决了。
  对于第二个问题，实际上就是要统计距离不在点$z$子树内，离$z$距离小于等于$l_z$的点数，以及在$z$的子树中，离点$z$的距离小于等于$l_u-dis(z, u)$的点数。

那么对于第二个问题比较好的解决思路就是dfs序，因为子树都是dfs序中连续的一段，而不在子树中必定是全段挖去中间的一小段。那么我们只需要按dfs序构建主席树，那么就可以快速进行统计了。

那么单次询问的时间复杂度就是的时间复杂度$O(klogn)$

于是最终总的时间复杂度是$O( nlogn + Qklogn )$