平衡二叉树

已于 2025-07-10 17:05:46 修改
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文章标签： 数据结构
于 2025-07-10 17:04:27 首次发布
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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Yuking_Go/article/details/149248990

一、概念：平衡二叉树是一种高度平衡的二叉排序树，其中每一个结点的左子树和右子树的高度差的绝对值至多为1.

    平衡因子（BF）：BF=左子树高度-右子树高度

     最小不平衡子树：距离插入结点最近，且平衡因子的绝对值大于1的结点的根的子树称为最小不平衡子树

二：平衡二叉树的实现原理：
  

下面是失衡的四种情况（图片摘自王卓的课程）

失衡的调整：

1）LL型：

对于LL型失衡需要通过对根结点A进行右旋调整：

  • 将 左子节点（B） 提升为新的根节点。
  • 原根节点（A）成为 B 的右子节点。
  • Y 的原右子树（β）转移到 A 的左子树（保持二叉搜索树的顺序) 

调整后： 

 2）RR型：

对于RR型失衡需要通过对根结点A进行左旋调整：

  • 将  右子节点（B） 提升为新的根节点。
  • 原根节点（A）成为 B 的左子节点。
  • B 的原左子树（α）转移到 A 的右子树（保持二叉搜索树的顺序）

调整后：

 3)LR型：需要对其左子树进行左旋使其变成LL型，然后再进行右旋。

4）RL型：需要对其右子树进行右旋使其变成RR型，然后再进行左旋。

三、算法实现：

构建平衡二叉树的基本思想：在构建二叉排序树的过程中，每插入一个结点，先检查是否因插入而破坏了树的平衡性，若是，则找出最小不平衡树，对其进行调整，使其成为新的平衡子树。

首先是树结点结构：

struct TNode{
	int BF;        //增加一个平衡因子 
	int val;
	TNode* lc;
	TNode* rc; 
	TNode(int v):val(v),lc(NULL),rc(NULL),BF(0){}  
};

接着是左旋和右旋的函数：

void R_Rotate(TNode* &root){  //右旋函数 
	TNode* x=root->lc;
	TNode* y=x->rc;	
	x->rc=root; 
	root->lc=y;
	root=x;    //根结点指向x。 
}
void L_Rotate(TNode* &root){   //左旋函数（与右旋相反） 
	TNode* x=root->rc;
	TNode* y=x->lc;
	x->lc=root;
	root->rc=y;
	root=x;
}

然后是处理最小不平衡子树的函数：

这个函数的关键是处理后相关结点的BF的计算，也是最难的一个点。

void LeftBalance(TNode* &root){   //调整左树过高 ，这个函数的关键是BF值的修改 
	TNode* x=root->lc;
	TNode* y=x->rc;
	if(x->BF==1){     //LL型
		root->BF=0;
		x->BF=0;           //LL型调整过后root和x的BF都为0 
		R_Rotate(root);
	} 
	else{          //这里x的BF为-1  （LR型）
		switch(y->BF){  
			case 1:
                root->BF = -1;
                x->BF = 0;
                break;
            case 0:
                root->BF =0;
				 x->BF = 0;
                break;
            case -1:
                root->BF = 0;
                x->BF = 1;
                break; 
		} 
		y->BF = 0;
        L_Rotate(root->lc);
        R_Rotate(root);
          
	}
}
 
void RightBalance(TNode* &root){    //和LeftBalance函数类似 
	TNode* x=root->rc;
	TNode* y=x->lc;
	if(x->BF==-1){
		root->BF=0;
		x->BF=0;
		L_Rotate(root);
	}
	else{
		switch(y->BF){
			case 1:
				root->BF=0;
				x->BF=-1;
				break;
			case 0:
				root->BF=0;
				x->BF=0;
				break;
			case -1:
				root->BF=1;
				x->BF=0;
				break;
				
		}
		y->BF=0;
		R_Rotate(root->rc);
		L_Rotate(root);
	}	
}

最后是插入函数：

插入函数在插入的同时需要判断其是否长高，如果长高就要判断其是否失衡，若失衡则要调用处理最小不平衡子树的函数来调整。

bool Insert_AVL(TNode* &root,int value,bool &higher){   //插入并构建平衡二叉树    higher:用来判断插入操作是否使树高度增加 
	 if(!root){
	 	root=new TNode(value);
	 	higher=true;
	 	return true;
	 }     
	else if(root->val==value)
	    return false;
	else{
		bool inserted=false;
		if(value<root->val){
			inserted=Insert_AVL(root->lc,value,higher);
			if(inserted){
				if(higher){
					switch(root->BF){
						case 1:                
							LeftBalance(root);   //进行平衡调整过后higher变为false 
							higher=false;						
							break;
						case 0:              
							root->BF=1;     
							higher=true;     //左树长高，整体长高 
							break;
						case -1:
							root->BF=0;     //原先右树高于左树，整体高度不变 
							higher=false;
							break;
					}
				}
				return true;
			}
		    return false;
		}
		else{
			inserted=Insert_AVL(root->rc,value,higher);
			if(inserted){
				if(higher){
					switch(root->BF){
						case 1:
							root->BF=0;
							higher=false;
							break;
						case 0:
							root->BF=-1;
							higher=true;
							break;
						case -1:
							RightBalance(root);
							higher=false;
							break;
					}
				}
				return true;
			}
			return false;
		}
	}
}

整体代码：

#include<iostream>
using namespace std;
struct TNode{
	int BF;        //增加一个平衡因子 
	int val;
	TNode* lc;
	TNode* rc; 
	TNode(int v):val(v),lc(NULL),rc(NULL),BF(0){}  
}; 
void R_Rotate(TNode* &root){  //右旋函数 
	TNode* x=root->lc;
	TNode* y=x->rc;	
	x->rc=root; 
	root->lc=y;
	root=x;    //根结点指向x。 
}
void L_Rotate(TNode* &root){   //左旋函数（与右旋相反） 
	TNode* x=root->rc;
	TNode* y=x->lc;
	x->lc=root;
	root->rc=y;
	root=x;
}
void LeftBalance(TNode* &root){   //调整左树过高 ，这个函数的关键是BF值的修改 
	TNode* x=root->lc;
	TNode* y=x->rc;
	if(x->BF==1){
		root->BF=0;
		x->BF=0;           //LL型调整过后root和x的BF都为0 
		R_Rotate(root);
	} 
	else{          //这里x的BF为-1 
		switch(y->BF){
			case 1:
                root->BF = -1;
                x->BF = 0;
                break;
            case 0:
                root->BF =0;
				 x->BF = 0;
                break;
            case -1:
                root->BF = 0;
                x->BF = 1;
                break; 
		} 
		y->BF = 0;
        L_Rotate(root->lc);
        R_Rotate(root);
          
	}
}
 
void RightBalance(TNode* &root){    //和LeftBalance函数类似 
	TNode* x=root->rc;
	TNode* y=x->lc;
	if(x->BF==-1){
		root->BF=0;
		x->BF=0;
		L_Rotate(root);
	}
	else{
		switch(y->BF){
			case 1:
				root->BF=0;
				x->BF=-1;
				break;
			case 0:
				root->BF=0;
				x->BF=0;
				break;
			case -1:
				root->BF=1;
				x->BF=0;
				break;
				
		}
		y->BF=0;
		R_Rotate(root->rc);
		L_Rotate(root);
	}	
} 
bool Insert_AVL(TNode* &root,int value,bool &higher){   //插入并构建平衡二叉树    higher:用来判断插入操作是否使树高度增加 
	 if(!root){
	 	root=new TNode(value);
	 	higher=true;
	 	return true;
	 }     
	else if(root->val==value)
	    return false;
	else{
		bool inserted=false;
		if(value<root->val){
			inserted=Insert_AVL(root->lc,value,higher);
			if(inserted){
				if(higher){
					switch(root->BF){
						case 1:                
							LeftBalance(root);   //进行平衡调整过后higher变为false 
							higher=false;						
							break;
						case 0:              
							root->BF=1;     
							higher=true;     //左树长高，整体长高 
							break;
						case -1:
							root->BF=0;     //原先右树高于左树，整体高度不变 
							higher=false;
							break;
					}
				}
				return true;
			}
		    return false;
		}
		else{
			inserted=Insert_AVL(root->rc,value,higher);
			if(inserted){
				if(higher){
					switch(root->BF){
						case 1:
							root->BF=0;
							higher=false;
							break;
						case 0:
							root->BF=-1;
							higher=true;
							break;
						case -1:
							RightBalance(root);
							higher=false;
							break;
					}
				}
				return true;
			}
			return false;
		}
	}
} 
void preOrder(TNode* root){   //前序遍历 
	if(!root)
	    return;
	else{
		cout<<root->val<<" ";
		preOrder(root->lc);
		preOrder(root->rc);
	}
}
// 释放内存
void DestroyTree(TNode* root) {
    if(root) {
        DestroyTree(root->lc);
        DestroyTree(root->rc);
        delete root;
    }
}
int main(){
	int value;
	int n,i;
	TNode* root=NULL;
	bool higher=false;
	cin>>n;
	for(i=0;i<n;i++){
		cin>>value;
		Insert_AVL(root,value,higher);
		
	}
	preOrder(root); 
	DestroyTree(root);
	return 0;
}

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