算法基础课—动态规划（一）背包问题

背包问题概述

多重背包问题——每个物品有有限个，si
分组背包问题——每一组只能选一个

01背包问题

题目

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000
输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例：
8

动态规划的关键

1、状态表示f（i，j）——需要几枚（有可能是i，或者i、j，或者i、j、t）来表示这个状态，如这里的条件是体积和包含前i个物品，于是我们可以把这两个作为状态中的i，j。而f（i，j）的值表达的则是他的属性，即这里的最大价值
集合——f（i，j）表示的是什么状态，i和j是什么，需要几个参数
属性——存的数集合的属性——如最大价值，最小代价等等

2、状态计算——如何进行状态转移
集合划分，如何把当前f（i，j）这个集合划分成更小的集合表示

第一种不含第i件物品，所以此时f（i，j） = f（i - 1， j）

第二种包含第i件物品，所以此时f（i，j）= f（i - 1，j - vi）+ wi 由于当前选法都包含第i件物品，所以我们可以去掉第i件物品，此时的他们的最大最小的排序也不会发生变化，所以找的就是在在不超过第i-1件物品内，体积不超过j-vi的最大值

最后的f（i，j）其实是他们两种情况取一个max

朴素做法

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n,m;
int f[N][N], v[N], w[N];
int main(){
   
   
    int i, j;
    cin>>n>>m;
    for(i = 1; i <= n; i ++){
   
   
        cin>>v[i]>>w[i];
    }
    for(i = 1; i <= n; i ++){
   
   
        for(j = 0; j <= m; j ++){
   
   
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if(j >= v[i])
            f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
        }
    }
    cout<<f[n][m]<<endl;
}

优化方法——滚动数组

关键：化成一维数组
优化可以发现在计算f（i，j）时，只用到了f（i-1，j）和f（i-1，j -vi）时的状态，而那时的j都是比较小的，所以可以把f化成一维数组来算

滚动数组，由于之后的每一次都只与上一次的有关系，且上一次的记录不需要保存，于是我们可以直接使用一维数组，每次使用然后覆盖即可

这里j用倒序是因为，如果说j是从v[i]开始的，则后续使用j-vi时，会变成使用的是第i次的，而需要的是第i-1次的，于是我们可以将j倒序进行循环

//优化做法
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n,m;
int f[N], v[N], w[N];
int main(){
   
   
    int i, j;
    cin>>n>>m;
    for(i = 1; i <= n; i ++){
   
   
        cin>>v[i]>>w[i];
    }
    for(i = 1; i <= n; i ++){
   
   
        for(j = m; j >= v[i]; j --){
   
   
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
        }
    }
    cout<&l