【算法】动态规划-背包问题

  动态规划就是将问题划分为子问题，通过子问题的最优解得到原问题的最优解。动态规划把每个求解过程的子问题记录下来，下次碰到同样的子问题可以直接使用之前的结果。下面学习一类经典的背包问题。

1.01背包问题

问题是这样的：n 件物品，每个重量 w[i]，价值 c[i] 。背包容量 V。问如何使得背包内物品总价值最大。每种物品只有一件。

定义 dp[i][j] 表示前 i 件物品装入容量 j 的背包的价值，那么：

dp[i][j] = Math.max(
	dp[i-1][j],		// 不放第 i 件物品
    dp[i-1][j-w[i]] + c[i]	// 放第 i 件物品
) 

因此代码如下：

for (int i = 0; i < n; i++) {
   
    for (int j = w[i]; j <= V; j++) {
   
        dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + c[i]);
    }
}

空间优化：

for (int i = 0; i < n; i++) {
   
    for (int j = V; j >= w[i]; j--) {
   
        dp[j] = Math