伯努利原理证明

原表达式

$\frac{1}{2}\rho {\nu }^2+\rho gh+p=constant$
其中：
$\nu =$ 流体流速
$g=$ 重力加速度
$h=$ 流体处于的高度
$p=$ 流体所受的压力强度
$\rho =$ 流体密度

定理假设

• 定常流动
• 不可压缩流体
• 无摩擦流
• 流体沿着流线流动

推导过程

流体在直管路的时候一般是没有压差的，也就是压力对它不做功，当遇到管路突然改变的时候就会发生压力的改变，从而出现压差，我们假设这个压差是固定值，这样就会出现两处压差$p_1,p_2$，如图所示。
流体因受压力推动而得到能量：
$F_1{s}_1-F_2{s}_2=p_1{A}_1{\nu }_1{\Delta }_t+p_2{A}_2{\nu }_2{\Delta }_t$
流体因重力做功而损失的能量：
$mg{h}_1+mg{h}_2=\rho g{A}_1{\nu }_1{\Delta }_t{h}_1+\rho g{A}_2{\nu }_2{\Delta }_t{h}_2$
流体所得动能：
$\frac{1}{2}m{\nu }_2^2-\frac{1}{2}m{\nu }_1^2=\frac{1}{2}\rho A_2{\nu }_2{\Delta }_t{\nu }_2^2+\frac{1}{2}\rho A_1{\nu }_1{\Delta }_t{\nu }_1^2$
根据能量守恒定律：流体因压力做功所得能量 + 流体因重力做功所失能量 = 流体所得动能
化简可以得到：
$\frac{{\nu }^2}{2g}+h+\frac{p}{\rho g}=constant$