acwing算法提高之图论--最近公共祖先

1 介绍

本博客用来记录"对于有根图中，求最近公共祖先"的题目。

求解方法：

1. 向上标记法。每次求两个结点的最近公共祖先的时间复杂度是O(N)。由于时间复杂度较高，通常不用。
2. 倍增法。
3. Tarjan法。

1.1 向上标记法

字面意思理解即可，存储每个结点的父结点。从结点a出发，往上走，一直走到根结点，标记走过的结点；然后从结点b出发，往上走，一直走到根节点，第一次遇到的标记过的结点就是这两个结点的最近公共祖先。

1.2 倍增法

倍增法重要思路：预处理出两个数组fa[i][j]和depth[i]。其中fa[i][j]表示从i开始，向上走2^j步所能走到的结点。0<=j<=logn。depth[i]表示深度，为到根结点的距离再加上1。

哨兵：如果从i开始跳2^j步会跳过根结点，那么fa[i][j] = 0，depth[0] = 0。

倍增法重要步骤：

1. 先将两个点跳到同一层。
2. 让两个点同时往上跳，一直跳到它们的最近公共祖先的下一层。

倍增法的时间复杂度分析：预处理的时间复杂度为O(NlogN)，查询的时间复杂度为O(logN)。

1.3 Tarjan法

对结点进行分类，离线做法。

2 训练

题目1：1172祖孙询问

C++代码如下，

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <unordered_map>

using namespace std;

const int N = 40010;
int n, m;
int depth[N], fa[N][16];
int ancestor;
unordered_map<int, vector<int>> g;

void bfs(int root) {
   
    memset(depth, 0x3f, sizeof depth);
    depth[0] = 0;
    depth[root] = 1; 
    
    queue<int> q;
    q.push(root);
    
    while (!q.empty()) {
   
        int a = q.front();
        q.pop();
        
        for (auto b : g[a]) {
   
            if (depth[b] > depth[a] + 1) {
   
                depth[b] = depth[a] + 1;
                q.push(b);
                fa[b][0] = a;
                for (int k = 1; k <= 15; ++k) {
   
                    fa[b][k] = fa[fa[b][k-1]][k-1];
                }
            }
        }
    }
    return;
}

int lca(int a, int b) {
   
    //倍增法
    if (depth[a] < depth[b]) swap(a, b);
    for (int k = 15; k >= 0; --k) {
   
        if (depth[fa[a][k]] >= depth[b]) {
   
            a = fa[a][k];
        }
    }
    
    if (a == b) return a;
    
    for (int k = 15; k >= 0; --k) {
   
        if (fa[a][k] != fa[b][k]) {
   
            a = fa[a][k];
            b = fa[b][k];
        }
    }
    return fa[a][0];
}

int main() {
   
    cin >> n;
    int a, b;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
   
        cin >> a >> b;
        if (b == -1) {
   
            ancestor = a;
        } else {
   
            g[a].emplace_back(b);
            g[b].emplace_back(a);        
        }
    }
    
    
    cin >> m;
    vector<pair<int,int>> queries;
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
   
        cin >> a >> b;
        queries.emplace_back(a,b);
    }
    
    //从根结点开始遍历
    bfs(ancestor);
    
    for (auto [a, b] : queries) {
   
        int x = lca(a, b);
        if (a == x) {
   
            puts("1");
        } else if (b == x) {
   
            puts("2");
        } else {
   
            puts("0");
        }
    }
    
    return 0;
}

题目2：1171距离

C++代码如下，

#include <cstdio