均匀B样条曲线的表达式

1 矩阵表达

对于均匀B样条曲线，其曲线方程的矩阵表达为：
$$c(t)=[1t\cdots t^k]M_k\left[\begin{array}{c}{P}_{i-k}\\ P_{i-k+1}\\ ⋮\\ P_i\end{array}\right]t\in [0,1]\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中$t$为参数，$P_{i-k},P_{i-k+1},\cdots ,P_i$为$k+1$个控制点，而$M_k$由下式给出：
$$M_k=\left[\begin{array}{cccc}{m}_{0,0}& m_{0,1}& \cdots & m_{0,k}\\ ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ m_{k,0}& m_{k,1}& \cdots & m_{k,k}\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(2)}$$
而矩阵$M_k$中的每个元素$m_{i,j}$可以由下式直接给出，
$$m_{i,j}=\frac{1}{(k-1)!}{C}_k^{k-i}\sum _{s=j}^k(-1{)}^{s-j}{C}_{k+1}^{s-j}(k-s{)}^{k-i}\text{\hspace{1em}(3)}$$
由上式，很容易得出，
$$M_1=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 1\end{array}\right]$$
$$M_2=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ -2& 2& 0\\ 1& -2& 1\end{array}\right]$$
$$M_3=\frac{1}{2}\cdot \left[\begin{array}{cccc}1& 4& 1& 0\\ -3& 0& 3& 0\\ 3& -6& 3& 0\\ -1& 3& -3& 1\end{array}\right]$$
$$M_4=\frac{1}{6}\cdot \left[\begin{array}{ccccc}1& 11& 11& 1& 0\\ -4& -12& 12& 4& 0\\ 6& -6& -6& 6& 0\\ -4& 12& -12& 4& 0\\ 1& -4& 6& -4& 1\end{array}\right]$$
计算矩阵$M_k$的matlab程序为，

clear all
clc
close all


%%
k = input('请输入一个大于等于1的整数：');
M = zeros(k+1,k+1);
for i = 0 : k
    for j = 0 : k
        a = 1 / factorial(k - 1);
        a = a * nchoosek(k, k - i);
        b = 0;
        for s = j : k
            b = b + (-1)^(s - j) * nchoosek(k + 1, s - j) * (k - s)^(k - i);
        end
        a = a * b;
        M(i+1, j+1) = a;
    end
end
M %小数表示
format rat
M %分数表示

2 多项式表达

对于均匀B样条曲线，其曲线多项式表示为：
$$c(t)=w_0{P}_{i-k}+w_1{P}_{i-k+1}+\cdots +w_k{P}_i\text{\hspace{1em}(4)}$$
其中$t$为参数，$P_{i-k},P_{i-k+1},\cdots ,P_i$为$k+1$个控制点，而$w_0,w_1,\cdots ,w_k$是$t$的多项式，可以理解为控制点的权重，由下式给出，
$$w_i=\frac{1}{(k-1)!}\sum _{j=0}^{k-i}(-1{)}^j{C}_{k+1}^j(t+k-i-j{)}^{k}i=0,1,\cdots ,k\text{\hspace{1em}(5)}$$
当$k$取4时，有5个控制点，每个控制点的权重分别为，
$$w_0=\frac{1}{6}\cdot \sum _{j=0}^4(-1{)}^j\cdot C_5^j\cdot (t+4-j{)}^4$$
$$w_1=\frac{1}{6}\cdot \sum _{j=0}^3(-1{)}^j\cdot C_5^j\cdot (t+3-j{)}^4$$
$$w_2=\frac{1}{6}\cdot \sum _{j=0}^2(-1{)}^j\cdot C_5^j\cdot (t+2-j{)}^4$$
$$w_3=\frac{1}{6}\cdot \sum _{j=0}^1(-1{)}^j\cdot C_5^j\cdot (t+1-j{)}^4$$
$$w_4=\frac{1}{6}\cdot \sum _{j=0}^0(-1{)}^j\cdot C_5^j\cdot (t-j{)}^4=t^4$$
将$w_0,w_1,w_2,w_3,w_4$展开，合并同类多项式，可得，
$$w_0=\frac{1}{6}\cdot (t^4-4t^3+6t^2-4t+1)=\frac{1}{6}\cdot [1t{t}^2{t}^3{t}^4]\left[\begin{array}{c}1\\ -4\\ 6\\ -4\\ 1\end{array}\right]$$
$$w_1=\frac{1}{6}\cdot (-4t^4+12t^3-6t^2-12t+11)=\frac{1}{6}\cdot [1t{t}^2{t}^3{t}^4]\left[\begin{array}{c}11\\ -12\\ -6\\ 12\\ -4\end{array}\right]$$
$$w_2=\frac{1}{6}\cdot (6t^4-12t^3-6t^2+12t+11)=\frac{1}{6}\cdot [1t{t}^2{t}^3{t}^4]\left[\begin{array}{c}11\\ 12\\ -6\\ -12\\ 6\end{array}\right]$$
$$w_3=\frac{1}{6}\cdot (-4t^4+4t^3+6t^2+4t+1)=\frac{1}{6}\cdot [1t{t}^2{t}^3{t}^4]\left[\begin{array}{c}1\\ 4\\ 6\\ 4\\ -4\end{array}\right]$$
$$w_4=\frac{1}{6}\cdot t^4=\frac{1}{6}\cdot [1t{t}^2{t}^3{t}^4]\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$$
将上述$w_0,w_1,w_2,w_3,w_4$代入公式(4)，整理可得B样条曲线的表达式为，
$$c(t)=[1t{t}^2{t}^3{t}^4]\cdot \frac{1}{6}\cdot \left[\begin{array}{ccccc}1& 11& 11& 1& 0\\ -4& -12& 12& 4& 0\\ 6& -6& -6& 6& 0\\ -4& 12& -12& 4& 0\\ 1& -4& 6& -4& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{P}_{i-k}\\ P_{i-k+1}\\ ⋮\\ P_i\end{array}\right]$$
该表达式与第1节矩阵表达中公式(1)取$k=4$时一致。

3 参考文献

[1] http://t.csdn.cn/WJQkU