acwing算法提高之图论--差分约束

1 介绍

本专题用来记录差分约束的题目。

差分约束类的题目，一般有如下两类问题：

1. 求不等式组的可行解。
2. 求最大值或者最小值，这里的最值指的是每个变量的最值。

对于第一类问题，需要满足如下条件：从原点出发，一定可以经过所有的边。

第一类问题的求解步骤如下：

1. 先将每个不等式xi <= xj + ck，转化成一条从xj走到xi，长度为ck的一条边。
2. 寻找一个超级原点，使得该原点一定可以遍历到所有的边。
3. 从原点求一遍单源最短路。结果1：如果存在负环，则原不等式组一定无解。结果2：如果没有负环，则dist[i]就是原不等式组的一个可行解。

对于第二类问题，如果求的是最小值，则应该求最长路；如果求的是最大值，则应该求最短路。

如何转化xi <= c，其中c是一个常数？方法：建立一个超级原点0，然后构建0 --> i的边，其长度为c。

以求xi的最大值为例：求所有从xi出发，构成的不等式链xi <= xj + c1 <= xk + c2 + c1 <= ... <= c1 + c2 + ...。可以计算出一个xi的上界。最终xi的最大值等于所有上界的最小值。

2 训练

题目1：1169糖果

C++代码如下，

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 100010, M = 300010;
int n, m;
int h[N], e[M], w[M], ne[M], idx;
LL dist[N];
int q[N], cnt[N];
bool st[N];

void add(int a, int b, int c) {
   
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

bool spfa() {
   
    int hh = 0, tt = 1;
    memset(dist, -0x3f, sizeof dist);
    dist[0] = 0;
    q[0] = 0;
    st[0] = true;
    
    while (hh != tt) {
   
        int t = q[--tt];
        st[t] = false;
        
        for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i]) {
   
            int j = e[i];
            if (dist[j] < dist[t] + w[i]) {
   
                dist[j] = dist[t] + w[i];
                cnt[j] = cnt[t] + 1;
                if (cnt[j] >= n + 1) return false;
                if (!st[j]) {
   
                    q[tt++] = j;
                    st[j] = true;
                }
            }
        }
    }
    return true;
}

int main() {
   
    scanf("%d%d", &n, &m);
    memset(h, -1, sizeof h);
    while (m--) {
   
        int x, a, b;
        scanf("%d%d%d", &x, &a, &b);
        if (x == 1) add(b, a, 0), add(a, b, 0);
        else if (x == 2) add(a, b, 1);
        else if