acwing算法提高之图论--floyd算法及其扩展应用

1 介绍

本专题介绍使用floyd算法求解的题目。

使用floyd算法，可以求解如下问题：

1. 最短路。
2. 传递闭包。
3. 找图中的距离总和最小的环路。
4. 求恰好经过k条边的最短路。

floyd算法的原理讲解：基于动态规划。

状态表示d[k,i,j]：(1)集合：所有从i出发，最终走到j，且中间只经过结点编号不超过k的所有路径。(2)属性：路径长度的最小值。

状态计算：(1)所有不含结点k的路径，即d[k-1,i,j]。(2)所有包含结点k的路径，即d[k-1,i,k] + d[k-1,k,j]。

状态转移为：d[k,i,j] = min(d[k-1,i,j], d[k-1,i,k] + d[k-1,k,j])

考虑优化掉第一维状态之后，有，

for (int k = 0; k < n; ++k) {
   
	for (int i = 0; i < n; ++i) {
   
		for (int j = 0; j < n; ++j) {
   
			d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
		}
	}
}

2 训练

题目1：1125牛的旅行

C++代码如下，

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>

#define x first
#define y second

using namespace std;

typedef pair<double, double> PDD;

const int N = 155;
const double INF = 1e20;

int n;
PDD q[N];
double d[N][N];
double maxd[N];
char g[N][N];

double get_dist(PDD a, PDD b) {
   
    double dx = a.x - b.x;
    double dy = a.y - b.y;
    return sqrt(dx * dx + dy * dy);
}

int main() {
   
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> q[i].x >> q[i].y;
    for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> g[i];
    
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
   
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
   
            if (i == j) d[i][j] = 0;
            else if (g[i][j] == '1') d[i][j] = get_dist(q[i], q[j]);
            else d[i][j] = INF;
        }
    }
    
    for (int k = 0; k < n; ++k) {
   
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
   
            for (int j = 0; j < n; ++j) {
   
                d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);