51Nod 1675 莫比乌斯反演

最新推荐文章于 2020-06-28 15:03:00 发布

新熊君

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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/WuBaizhe/article/details/77643182

博客详细解析了如何运用莫比乌斯反演解决51Nod 1675题，将原问题转化为求解gcd(x,y)=1时cx=dy的对数。通过转化，将问题转化为经典的莫比乌斯反演公式，并给出求解F(n)的桶排算法实现。" 134588581,11790564,点云处理：C++ PCL 提取墙体边界线,"['点云处理', 'C++编程', 'PCL库', '计算机视觉', '算法']

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题目链接

思路：
对于 $a_{b_x}$ ，可以看成一个新的序列 $c$ ，即：
$a_{b_1},a_{b_2},a_{b_3} ... <==> c_1,c_2,c_3....$

对于 $b_{a_y}$ ，同理可看成一个新的序列 $d$ 。

故问题等价于，求有多少对合法的下标 $x, y$ ，满足：
$g c d (x, y) = 1$ 且 $c_x = d_y$

这就是经典的莫比乌斯反演问题了。

设： $f (n)$ 为 $g c d (x, y) = n$ 且 $c_x = d_y$
而 $F (n)$ 为 $g c d (x, y) = n$ 的倍数且 $c_x = d_y$

则：
$\sum_{n|d}f(d) <==> f(n) = \sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})F(d)$

故
$\sum_{d=1}\mu(d)F(d)$

故可以枚举 $d$ ，对于 $F (d)$ 的求解，因为序列的取值是离散的，故需要暴力桶排求解。

代码：

#include<cmath>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int A = 1e5 + 10;
int mu[A],pri[A],a[A],b[A],cnt[A],tot;
bool vis[A];

void init(){
    tot = 0;mu[1] = 1;
    for(int i=2 ;i<A ;i++){
        if(!vis[i]){
            pri[++tot] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for(int j=1 ;j<=tot&&i*pri[j]<A ;j++){
            vis[i*pri[j]] = 1;
            if(i%pri[j] == 0){
                mu[i*pri[j]] = 0;
                break;
            }
            mu[i*pri[j]] = -mu[i];
        }
    }
}

int main(){
    init();
    int n;scanf("%d",&n);
    for(int i=1 ;i<=n ;i++) scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1 ;i<=n ;i++) scanf("%d",&b[i]);
    ll ans = 0;
    for(int i=1 ;i<=n ;i++){
        ll res = 0;
        for(int j=i ;j<=n ;j+=i) cnt[a[b[j]]]++;
        for(int j=i ;j<=n ;j+=i) res += cnt[b[a[j]]];
        for(int j=i ;j<=n ;j+=i) cnt[a[b[j]]]--;
        ans += mu[i]*res;
    }
    printf("%I64d\n",ans);
    return 0;
}