【轻松掌握数据结构与算法】不相交集合

引言

不相交集合（Disjoint Sets）是一种数据结构，用于处理一些不相交的集合，并支持两种主要操作：查找（Find）和合并（Union）。这种数据结构在图算法、网络流问题和并查集问题中非常有用。

等价关系和等价类

在数学中，等价关系是一种二元关系，满足自反性、对称性和传递性。等价类是集合中所有相互等价的元素的集合。不相交集合 ADT 可以用来高效地管理和操作这些等价类。

不相交集合 ADT

不相交集合 ADT 定义了以下操作：

• MakeSet：创建一个新的集合，包含一个元素。

• Find：查找元素所属的集合。

• Union：合并两个集合。

应用

不相交集合 ADT 在许多领域都有应用，包括：

• 图算法：如 Kruskal 最小生成树算法。

• 网络流问题：用于管理网络中的流量。

• 并查集问题：用于处理集合的合并和查找操作。

实现不相交集合 ADT 的权衡

不相交集合 ADT 有多种实现方式，每种实现方式都有其优缺点。常见的实现方式包括：

• 快速合并（Fast UNION）：通过路径压缩优化查找操作。

• 快速查找（Quick FIND）：通过按秩合并优化合并操作。

快速合并实现（慢查找）

快速合并实现通过路径压缩优化查找操作，使得每次查找操作的时间复杂度接近O(log⁡n)

代码示例

typedef struct DisjointSet {
    int *parent;
    int *rank;
    int size;
} DisjointSet;

// 创建不相交集合
DisjointSet* createDisjointSet(int size) {
    DisjointSet *ds = (DisjointSet*)malloc(sizeof(DisjointSet));
    ds->parent = (int*)malloc(size * sizeof(int));
    ds->rank = (int*)malloc(size * sizeof(int));
    ds->size = size;
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        ds->parent[i] = i;
        ds->rank[i] = 0;
    }
    return ds;
}

// 查找元素所属的集合
int find(DisjointSet *ds, int x) {
    if (ds->parent[x] != x) {
        ds->parent[x] = find(ds, ds->parent[x]); // 路径压缩
    }
    return ds->parent[x];
}

// 合并两个集合
void unionSets(DisjointSet *ds, int x, int y) {
    int xRoot = find(ds, x);
    int yRoot = find(ds, y);
    if (xRoot != yRoot) {
        if (ds->rank[xRoot] < ds->rank[yRoot]) {
            ds->parent[xR