[bzoj4987]Tree

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本文介绍了一种使用树形动态规划解决寻找特定数量节点构成的联通子树，以达到最小路径总和的问题。通过定义状态转移方程，利用枚举大小法进行合并操作，最终得出最优解。

题目大意

从前有棵树。
找出K个点A1，A2，…，Ak。
使得∑dis(AiAi+1),(1<=i<=K-1)最小。

DP

结论一：一定是找一个大小为k的联通子树。
结论二：最优答案一定是所有边权和*2-直径长度。
我们把直径的两个端点叫做关键点。
然后不妨dp，设f[i,j,k]表示子树i里选择了一个包含i的联通子树，含有j个点，选择了k个关键点的最小值。
合并时用枚举size法合并复杂度是O(n^2+nm)。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
const int maxn=3000+10,inf=1000000000;
int f[maxn][maxn][3],g[maxn][3];
int h[maxn],go[maxn*2],nxt[maxn*2],dis[maxn*2],size[maxn];
int i,j,k,l,t,n,m,tot,top,ans;
void add(int x,int y,int z){
    go[++tot]=y;
    dis[tot]=z;
    nxt[tot]=h[x];
    h[x]=tot;
}
void merge(int x,int y,int z){
    int i,j,k,l,r,t,lx,ly;
    fo(i,0,size[x]+size[y])
        fo(j,0,2) g[i][j]=f[x][i][j];
    lx=min(size[x],m);
    ly=min(size[y],m);
    fo(i,0,lx)
        fo(j,0,2)
            fo(k,0,min(ly,m-i))
                fo(l,0,2){
                    if (j+l>=3) continue;
                    r=j+l;
                    if (l==1) t=z;else t=2*z;
                    g[i+k][r]=min(g[i+k][r],f[x][i][j]+f[y][k][l]+t);
                }
    size[x]+=size[y];
    fo(i,0,size[x])
        fo(j,0,2) f[x][i][j]=g[i][j];
}
void dfs(int x,int y){
    int i,t;
    fo(i,0,m) f[x][i][0]=f[x][i][1]=f[x][i][2]=inf;
    f[x][1][0]=f[x][1][1]=f[x][1][2]=0;
    size[x]=1;
    t=h[x];
    while (t){
        if (go[t]!=y){
            dfs(go[t],x);
            merge(x,go[t],dis[t]);
        }
        t=nxt[t];
    }
    //f[x][0][0]=0;
    ans=min(ans,f[x][m][2]);
}
int main(){
    freopen("tree.in","r",stdin);freopen("tree.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    fo(i,1,n-1){
        scanf("%d%d%d",&j,&k,&l);
        add(j,k,l);add(k,j,l);
    }
    ans=inf;
    dfs(1,0);
    printf("%d\n",ans);
}