[agc002f]Leftmost Ball

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本文介绍了一种解决计数问题的动态规划算法。问题为：有n种颜色的球，每种颜色有k个球（排除白色）。将这些球排成一列，并将每种颜色的第一个球涂成白色，求所有可能的颜色序列方案数。算法通过动态规划方法避免重复计算，最终得到颜色序列方案总数。

前言

小清新计数题。

题意

n种颜色每种颜色有k个球（这n种颜色不含白色），排成一行，把每种颜色第一个球涂成白色。
问颜色序列方案数。

DP

要求任意后缀0的个数不比颜色种类数多。
不妨设dp表示f[i,j]已经用了i种颜色，放了i-j个0。
每次可以在最前面放0。
也可以新加一种颜色，为了不计重最前面的要是这种新颜色。
最后还要乘上颜色的阶乘。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=2000+10,mo=1000000007;
int fac[maxn*maxn],inv[maxn*maxn];
int f[maxn][maxn];
int i,j,k,l,t,n,m,ans;
int qsm(int x,int y){
    if (!y) return 1;
    int t=qsm(x,y/2);
    t=(ll)t*t%mo;
    if (y%2) t=(ll)t*x%mo;
    return t;
}
int C(int n,int m){
    if (n<m||n<0) return 0;
    return (ll)fac[n]*inv[m]%mo*inv[n-m]%mo;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&k);
    if (k==1){
        printf("1\n");
        return 0;
    }
    fac[0]=1;
    fo(i,1,n*k) fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%mo;
    inv[n*k]=qsm(fac[n*k],mo-2);
    fd(i,n*k-1,0) inv[i]=(ll)inv[i+1]*(i+1)%mo;
    f[0][0]=1;
    fo(i,0,n)
        fd(j,n,0)
            if (f[i][j]){
                if (j) (f[i][j-1]+=f[i][j])%=mo;
                if (i<n) (f[i+1][j+1]+=(ll)f[i][j]*C((i+1)*k-j-2,k-2)%mo)%=mo;
            }
    ans=(ll)f[n][0]*fac[n]%mo;
    (ans+=mo)%=mo;
    printf("%d\n",ans);
}