[AtCoder AGC002 F][DP]Leftmost Ball

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本文介绍了一种解决特定计数问题的动态规划算法。该算法通过分解问题为子问题，利用组合数学来优化状态转移过程，实现了从后往前的状态更新，最终达到O(n²)的时间复杂度。

观察发现每个白球后面至少有一种颜色出现k-1次（就是只出现在这个白球后面），知道这个性质后可以从后往前DP

把每次放一种颜色的球分成两次，一次放k-1个这种颜色的球，一次放1个白球，这样需要放2*n次

$f_{i,j,k}$ 表示放了 $i$ 次，放了 $j$ 种颜色，当前可以放 $k$ 个白球，这样转移要n^3
可以省去i这一维。
放一个白球 $f_{j,k}\rightarrow f_{j,k-1}$
放一种颜色 $f_{j,k} * C(i*k-j-1,k-2) \rightarrow f_{j+1,k+1}$ （因为放一种颜色要放k-1个球，其中一个球确定放在当前这一位，所以只要乘上k-2个球的放置方案就可以了）

组合数预处理一下，就可以n^2了

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define N 2010
#define M 4000000
#define P 1000000007

using namespace std;

typedef long long ll;

int n,k;
ll f[N][N],fac[N*N],inv[N*N];

inline int C(int x,int y){
  if(x<y) return 0;
  return fac[x]*inv[y]%P*inv[x-y]%P;
}

int main(){
  freopen("1.in","r",stdin);
  freopen("1.out","w",stdout);
  scanf("%d%d",&n,&k);
  if(k==1) return puts("1"),0;
  fac[0]=inv[0]=inv[1]=1;
  for(int i=1;i<=M;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%P;
  for(int i=2;i<=M;i++) inv[i]=(P-P/i)*inv[P%i]%P;
  for(int i=1;i<=M;i++) inv[i]=inv[i]*inv[i-1]%P;
  f[0][0]=1;
  for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=i;~j;j--){
      f[i][j]=f[i][j+1]%P;
      if(j) (f[i][j]+=f[i-1][j-1]*C(i*k-j-1,k-2))%=P;
    }
  printf("%lld\n",f[n][0]*fac[n]%P);
  return 0;
}