容斥的原理及广义应用

容斥原理

想起容斥原理，大家都不陌生。
相信很多地方都会举这样类似一个最简单的例子让大家理解容斥：
现在赛场上有n个人，都参加过WC、CTSC和APIO。
拿过至少一个比赛的金牌的有多少人？
我们可以简单计算拿过WC金牌的人数+拿过CTSC的金牌的人数+拿过APIO的金牌的人数。
但是这样会记重，比如jasonvictoryan，他既拿过WC的金牌又拿过APIO的金牌，又比如czllgzmzl，他既拿过WC的金牌又拿过CTSC的金牌，这样他们都会被计算两次。
于是我们还要减去同时拿过WC和CTSC的金牌的人数+同时拿过WC和APIO的金牌的人数+同时拿过CTSC和APIO的金牌的人数。
但是这样会记少，比如dwjshift，他WC-CTSC-APIO三金。一开始给他记了3次，然后又减去了他3次，那岂不是没有计算到他。
于是最后再加上同时拿过WC、CTSC和APIO的金牌的人数。
推广到更高的情况，也差不多，符号正负交替。
不知你有没有疑问过，为什么这样在更大的情况下是对的呢？
下面我们来讲讲容斥的原理，懂了这个你对容斥的理解和运气都会更上一层，不再是只会套经典容斥模型的人了！

容斥的原理

我们来思考上面容斥的意义。
比如一个人，他拿到了n个赛事的金牌，那么对于拿过金牌的人这个计数问题的容斥式子下，他会被算多少次？
n=0的时候，他自然是不会被计算到，这符合实际。
n>=1呢？
容易发现是
$\sum_{i=1}^nC_n^i*(-1)^{i+1}$
后面那个就是常见的容斥系数。
这个式子的值是多少呢？
我们可以证明这个式子的值为1。
$\sum_{i=1}^nC_n^i*(-1)^{i+1}$
=$\sum_{i=1}^n(C_{n-1}^i+C_{n-1}^{i-1})*(-1)^{i+1}$
=$\sum_{i=1}^{n-1}C_{n-1}^i*(-1)^{i+1}+\sum_{i=1}^nC_{n-1}^{i-1}*(-1)^{i+1}$
=$\sum_{i=1}^{n-1}C_{n-1}^i*(-1)^{i+1}+\sum_{i=1}^{n-1}C_{n-1}^i*(-1)^{i+2}+C_{n-1}^0$
=$1$
也就是说一个人只要拿过金牌，他就只会被计算一次！
这就是这个经典容斥问题为什么是对的证明。
而这个思路也就是容斥的原理：
通过对限制的更改使其变成容易计算的计数问题，再通过配以正确的容斥系数，使得最终得到的结果和原问题一致。
什么是配以正确的容斥系数呢？那么就是在设计容斥时，对每个需要计数的情况应该被计数多少次的考虑！
一般容斥问题都是这样：
要满足n个条件：……
而我们只满足或不满足其中一些条件，其余条件不管，然后进行容斥。
这就是把限制更改来变得更容易计算。
比如经典的错排问题：
有多少排列满足$a_i!=i$
我们可以看做有n个条件限制：第i个条件是$a_i!=i$
不等于是个很大的条件，除了i都能取，而等于是个很严格的条件，直接帮助我们确定了一些位置。
因此错排问题是考虑哪些位置不满足条件，其余位置则随便取。
$dp[n]=\sum_{i=0}^n(-1)^i*C_n^i*(n-i)!$
$dp[n]=\sum_{i=0}^n(-1)^i*\frac{n!}{i!*(n-i)!}*(n-i)!$
$dp[n]=\sum_{i=0}^n(-1)^i*\frac{n!}{i!}$
$dp[n]=(-1)^n+\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^i*\frac{n!}{i!}$
$dp[n]=(-1)^n+n*\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^i*\frac{(n-1)!}{i!}$
$dp[n]=(-1)^n+n*dp[n-1]$

容斥的形式

组合数形式

我们可以给出三种常见的容斥形式，并给出对应例题。
第一种形式是最普遍的，它是
$\sum_{i=1}^nC_n^i*f(i)$
f表示容斥系数。
在一般的问题中，f都表示-1的多少次方。
现在如果把满足至少1个条件改成至少k个条件，可能会有很多人不知道怎么做了。
但如果你明白容斥的原理，你发现就是
$\sum_{i=1}^nC_n^i*f(i)=[n>=k]$
知道这个又怎么样呢？
如果允许n^2的复杂度，你根本不需要去想f是多少，你可以让程序帮你算！
你需要构造这个f来满足式子。
我们考虑让n<=m都满足，那么会确定f的前m项。
现在考虑让n<=m+1都满足，就会将f的第m+1项确定。
这个f一定是存在的，而且是可以推的。
写一个段代码预处理这个f当然不困难。
同样我们可以思考更加丧病的容斥问题：
现在对于每个排列，如果有k个位置满足错排，则价值定义为a[k]，求所有排列的价值和。
假如你明白了容斥的原理，你仍然可以用容斥的思路去解决这题，你只需构造f来满足：
$\sum_{i=1}^nC_n^i*f(i)=a[n]$
这样就很方便了！
于是我们现在给一道例题：
这是“玲珑杯”线上赛 Round #17 河南专场某题 。
有n个硬币，初始全部正面朝上。
现在有m次操作，每次把编号是x的倍数的硬币翻面。
最后问多少个硬币正面朝上。
那这个题显然也是容斥题，你先用指数级时间枚举操作，然后求个最小公倍数，接下来问题在于容斥系数怎么定。
有了上面的经验就是构造f满足
$\sum_{i=1}^nC_n^i*f(i)=ord(n)$
这个f用n^2求没有问题。

斯特林数形式

第一种形式的组合数形式，主要是在枚举约束的子集。
而第二种形式，枚举的是划分的子集。
来看下面这道例题：
bzoj异或图
定义两个结点数相同的图 G1 与图 G2 的异或为一个新的图 G, 其中如果 (u, v) 在 G1 与
G2 中的出现次数之和为 1, 那么边 (u, v) 在 G 中, 否则这条边不在 G 中.
现在给定 s 个结点数相同的图 G1…s, 设 S = {G1, G2, … , Gs}, 请问 S 有多少个子集的异
或为一个连通图?

这个题怎么做呢？
容易想到容斥，容斥方向是用贝尔数的时间来枚举子集划分，也就是不同子集一定没有边，同一个子集可以任意。
这样做就很简单，因为我们可以用异或高斯消元解自由元的个数，来得到方案。
但是容斥系数呢？
容易发现这次不是组合数形式了，它应该是
$\sum_{i=1}^nS(n,i)*f(i)$
S表示第二类斯特林数，S(n,m)的意义是把n个数划分到m个集合。
这个形式下最普通的容斥系数是$(-1)^i*i!$
对于这道题来说容斥系数就是$f(i)=(-1)^{i-1}*(i-1)!$
我们可以来证明一下这条式子即
$\sum_{m=1}^nS(n,m)*(-1)^{m-1}*(m-1)!=[n=1]$
证明与组合数形式类似。
n=1显然成立，我们来说明n>=2时它为0。
$\sum_{m=1}^nS(n,m)*(-1)^{m-1}*(m-1)!$
=$\sum_{m=1}^n[S(n-1,m-1)+S(n-1,m)*m]*(-1)^{m-1}*(m-1)!$
=$\sum_{m=1}^nS(n-1,m-1)*(-1)^{m-1}*(m-1)!+\sum_{m=1}^{n-1}S(n-1,m)*(-1)^{m-1}*m!$
=$\sum_{m=1}^{n-1}S(n-1,m)*(-1)^m*m!+S(n-1,0)*(-1)^0*0!+\sum_{m=1}^{n-1}S(n-1,m)*(-1)^{m-1}*m!$
=$0$
这就是第二种容斥形式，也可以套容斥系数。

莫比乌斯函数形式

这种容斥其实大家可能见得多了，因为莫比乌斯函数本身就是一种很厉害的容斥系数。
它和组合数意义其实是有点像的。
这种形式一般见于数论问题下，是枚举约数的子集。
我们以phi函数为例。
如何计算n以内和n互质的数的个数呢？
假设$n=\Pi_{i=1}^kp_i^{c_i}$
相当于有k个限制，第i个限制要求不是$p_i$的倍数。
于是有这么一条式子
$\sum_{i|n}\frac{n}{i}*f(i)$
而一般都有$f(i)=\mu(i)$
我们来考虑一个数会被计算多少次。
显然只有它的因数对它造成影响。
如果这个数是1，因为$\mu(1)=1$，所以它被计算了1次，而1和任意正整数互质。
如果这个数有t个质因子n也有，那么会被计算
$\sum_{i=1}^t(-1)^i*C_t^i$
这其实就是组合数形式那个式子嘛！
所以只会被计算1次。

容斥系数寻找的优化

一般配容斥系数都是痛苦的事情（对于非经典的特殊问题）。
而了解容斥原理后进行容斥系数的构造，可以在n^2复杂度内寻找出容斥系数。
这还不够优秀！

打表法

手算或用程序打表，一般容斥系数都有规律，找到规律后在程序中直接套用，不需要花n^2的复杂度了。
例如翻硬币那个问题，我们可以发现它的容斥系数有规律，是$(-1)^i*2^i$。
这一般是最有效的方法。

反演法

你可以反演，一般来说去套比较麻烦的话可以多项式求逆（雾。
但是常见的容斥形式都是可以记忆如何反演的。
我们来大致讲讲反演吧。
定义$o_{i,j}=[i=j]$
定义$f_n=\sum_{i=1}^ng_i*a_{i,n}$
它的反演是
$g_n=\sum_{i=1}^nf_i*b_{i,n}$
b要满足什么条件？
$f_n=\sum_{i=1}^ng_i*a_{i,n}$
$f_n=\sum_{i=1}^na_{i,n}*\sum_{j=1}^if_j*b_{j,i}$
如果能满足
$\sum_{k=1}^n\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nb_{j,k}*a_{k,i}=o_{i,j}$
上面的式子便可满足。
因此就是这样去构造b。
然后是有二项式反演、斯特林反演这样的东西的。
至于莫比乌斯反演肯定大家都会啊。
这里不进行详细叙述，因为对基本形式反演是有难度的。
组合数形式一般容斥系数会带-1的次幂，其实可以把这个从容斥系数那里拆出来，剩余的可以做二项式反演。
所以就是这样啦！