扩展中国剩余定理(EXCRT)

最新推荐文章于 2024-10-13 16:29:01 发布
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分类专栏： 数论 ACM 文章标签： acm竞赛
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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/WedsonLin/article/details/110136303
本文详细介绍了扩展中国剩余定理（EXCRT），用于解决不完全互素的一元线性同余方程组。通过扩展欧几里得算法找到整数解，并给出算法流程，包括如何避免数据溢出。最后提供了模板代码供参考。

摘要生成于 C知道 ，由 DeepSeek-R1 满血版支持， 前往体验 >

扩展中国剩余定理(EXCRT)

中国剩余定理可以解形如下面的一元线性同余方程组：
{ ans≡x1(moda1)ans≡x2(moda2)ans≡x3(moda3)...ans≡xn(modan) \left\{\begin{matrix} ans\equiv x_1\pmod{a_1} \\ ans\equiv x_2\pmod{a_2} \\ ans\equiv x_3\pmod{a_3}\\ .\\ .\\ .\\ ans\equiv x_n\pmod{a_n} \end{matrix}\right.⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​ans≡x1​(moda1​)ans≡x2​(moda2​)ans≡x3​(moda3​)...ans≡xn​(modan​)​
其中a1,a2,a3…an两两互素。

如果a1,a2,a3…an不两两互素时，就不能利用中国剩余定理去解上述方程组了。因为不存在另外n-1个ai的乘积关于剩下一个数的逆元。

我们先考虑将如下方程组合并成一个方程
{ ans≡x1(moda1)ans≡x2(moda2)\left\{\begin{matrix} ans\equiv x_1\pmod{a_1} \\ ans\equiv x_2\pmod{a_2} \\ \end{matrix}\right.{ ans≡x1​(moda1​)ans≡x2​(moda2​)​

该方程存在唯一解ans，使得ans=m1a1+x1=m2a2+x2ans=m_1a_1+x_1=m_2a_2+x_2ans=m

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【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT）
远行客
08-29 769
传送门：洛谷:p4777 中国剩余定理(CRT) ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪xxx≡≡⋮≡a1(modp1)a2(modp2)an(modpn){x≡a1(modp1)x≡a2(modp2)⋮x≡an(modpn)\begin{cases} x &\equiv& a_1 \pmod {p_1} \\ x &\equiv& a_2 \pmod {p_2} \\ &\vdots& \\ x &\e...
洛谷 P4777 【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT）
qq_38232157的博客
11-01 310
扩展中国剩余定理（EXCRT）
扩展中国剩余定理（ExCRT）
wanglianda2007的博客
03-22 1704
详解扩展中国剩余定理。
扩展中国剩余定理（EXCRT）
Maple的博客
07-19 307
扩展中国剩余定理（EXCRT）
中国剩余定理（CRT）和扩展中国剩余定理（EXCRT）
weixin_41247488的博客
05-14 344
问题引出 “有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？”即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。——百度百科 解题思路 {x≡2(mod 3)x≡3(mod 5)x≡2(mod 7)\left\{\begin{matrix}x\equiv 2(mod\ 3)\\x\equiv 3(mod\ 5)\\x\equiv 2(m
P4777 【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT）、P3846 [TJOI2007] 可爱的质数/【模板】BSGS、P4195 【模板】扩展 BSGS/exBSGS
u014114223的博客
08-11 923
这段代码的主要目的是通过扩展的 Baby Step Giant Step 算法来求解形如。总的来说，这段代码的思路是通过分块和哈希表来加速对离散对数问题的求解。函数：这是一个递归实现的求最大公约数的函数，使用欧几里得算法。，输出 "no solution" ，否则输出计算得到的解。，输出 "No Solution" ，否则输出计算得到的解。函数是扩展欧几里得算法，用于计算两个数的最大公约数。函数求解，并根据结果输出相应的信息。函数求解，并根据结果输出相应的信息。函数中：读取输入的组数。函数求解并输出结果。
扩展的中国剩余定理
f3244077856的博客
10-13 724
中国剩余定理最早由中国古代数学家孙子（孙秀英）在《孙子算经》一书中提出。这本书是中国古代数学的重要著作之一，成书于4世纪至5世纪之间。中国剩余定理是一种用于求解一类线性同余方程组的定理。线性同余方程组是指形式为x ≡ b1 (mod n1), x ≡ b2 (mod n2), ..., x ≡ br (mod nr)的方程组，其中x是未知数，bi是已知的整数，ni是不同的正整数。中国剩余定理的由来是为了解决天文学和农业中的一些实际问题。
扩展中国剩余定理(exCRT)
Dawn的博客
11-09 313
首先 了解扩展中国剩余定理 你真的一点都不需要了解中国剩余定理 不过 你需要了解逆元 扩展欧几里得 所以… 如果不会逆元的请看这里(想学中国剩余定理也有−−−−−>----->−−−−−> 详解数论从入门到入土 想更好地把逆元应用到欧拉函数、欧拉定理、费马小定理、中国剩余定理请看这里−−−−−>----->−−−−−>数论1 想更好地把逆元应用到组合数、扩展欧几...
excrt（扩展中国剩余定理）
qq_45744856的博客
08-28 1384
EXCRT(扩展中国剩余定理) 拖更了 此时的模数不一定两两互质，导致了不能直接像之前那样只满足其中一个模数然后依次累加。 所以就只能换其他思路 /* 不妨来看其中两个条件满足 x=a1+m1*x1 x=a2+m2*x2 然后直接变换就得到m1*x1-m2*x2=a2-a1 要使得x尽量的小，那么x1和x2都要尽量的小 根据裴蜀定理 ax+by=c有整数解的充要条件就是(a,b)|c 也就是c是gcd(a,b)的整数倍数 所以基于此 设g
扩展中国剩余定理(EXCRT)快速入门
weixin_30304375的博客
09-24 354
问题 传送门 看到这个问题感觉很难??? 不用怕,往下看就好啦 假如你不会CRT也没关系 EXCRT大致思路 先考虑将方程组两两联立解开,如先解第一个与第二个,再用第一个与第二个的通解来解第三个...(以此类推) 那么怎么解第一个与第二个同余方程呢? \[ \begin{cases} x \equiv a_1 \pmod{b_1}\\ x \equiv a_2 \pmod{b_2}\\ ...
扩展中国剩余定理 (ExCRT) 学习笔记
weixin_30273501的博客
08-21 176
扩展中国剩余定理 (ExCRT) 学习笔记 预姿势： 扩展中国剩余定理和中国剩余定理半毛钱关系都没有 问题： 求解线性同余方程组： \[ f(n)=\begin{cases} x\equiv a_1\pmod {m_1}\\ x\equiv a_2\pmod {m_2}\\ ... ...\\ x\equiv a_n\pmod {m_n}\\ \end{cases}\] 的解\(x\)。...
中国剩余定理(CRT) && 扩展中国剩余定理(EX_CRT)
FIVE
01-03 2237
中国剩余定理（解决模数互质的同余方程组） 　　在《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？”这个问题称为“孙子问题”，该问题的一般解法国际上称为“中国剩余定理”。 具体解法分三步： 找到三个数：从3和5的公倍数中找出被7除余2的最小数20，从3和7的公倍数中找出被5除余3的最小数63，最后从...
中国剩余定理（CRT）&扩展中国剩余定理(exCRT)
zhouyuheng2003的博客
01-02 727
前言 中国剩余定理（也叫孙子定理）并不是很复杂，由于最近用到了，以前学的时候还不写博客，所以现在补一下 中国剩余定理（CRT） 问题 给出nnn个同余方程 x≡a1(modp1)x≡a2(modp2)⋅⋅     ⋅⋅⋅        ⋅⋅⋅x≡an(modpn) \b...
扩展中国剩余定理
Xm_wy的博客
04-08 312
概述   扩展中国剩余定理(exCRT)(exCRT)(exCRT)是中国剩余定理(CRT)(CRT)(CRT)的更普遍版本。   它取消了中国剩余定理的互质条件，所以可能无解。同时，不一定互质也说明无法用CRTCRTCRT的方法解exCRTexCRTexCRT所以我们需要考虑新的算法。 求解 {x≡a1(mod m1)x≡a2(mod m2)x≡a3(mod m3)⋮x≡an(mod mn) \begin{cases} x\equiv a_1(mod\ m_1) \
中国剩余定理&扩展中国剩余定理
m0_73830679的博客
07-21 1993
那么就有ax+by=k*gcd(a,b),那么我们知道x0,y0是ax+by=gcd(a,b)的一组解时那么他的特解就是k*x0,ky0;(其中通过d=exgcd(a,b,x,y),lcm(a1,a2)=a1*a2/d;同余方程：x≡a(mod b) <=> x(mod b)=a(mod b) <=> x%b=a%b;a/b=a*b^(-1)(表示逆元)=a/b*b*b^(-1)(mod p)那么如果求ax+by=c的一组解的话 其有解当且仅当 gcd(a,b)|c,c能把gcd(a,b)整除掉。
中国剩余定理 && 扩展中国剩余定理
Wind_bow的博客
02-03 319
https://blog.youkuaiyun.com/niiick/article/details/80229217 https://blog.youkuaiyun.com/destiny1507/article/details/81751168 https://www.cnblogs.com/MashiroSky/p/5918158.html https://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/...
扩展中国剩余定理matlab
最新发布
03-10
<think>好的，用户想找关于扩展中国剩余定理在MATLAB中的实现或者教程。首先，我需要明确扩展中国剩余定理（Extended Chinese Remainder Theorem, ExCRT）和普通CRT的区别。根据之前的引用，CRT解决的是模数两两互质的情况，而ExCRT处理的是模数不互质的情况，可能需要通过合并同余方程逐步求解。 接下来，我需要确认用户的需求：他们可能需要MATLAB代码示例或者相关教程。我需要检查现有的引用资料是否提到了ExCRT的具体算法。引用[4]提到程序中求k1*a1 = gcd(a1,a2) mod a2的解，这可能涉及到扩展欧几里得算法，而这是ExCRT的关键部分。因此，可能需要结合扩展欧几里得算法来实现ExCRT。 然后，我应该考虑如何在MATLAB中实现扩展欧几里得算法，因为这是合并同余方程的基础。需要编写一个函数来计算模逆或者求解贝祖等式。接着，根据ExCRT的步骤，逐步合并每个同余方程，检查是否存在解，并更新当前的解和模数。 可能遇到的问题包括如何处理模数不互质的情况，以及在合并方程时如何处理无解的情况。需要确保代码中包括这些情况的处理，比如检查每个步骤中的余数是否满足gcd条件。 另外，用户可能需要教程或代码示例，所以提供一个分步的代码解释会更好。需要确保代码结构清晰，注释详细，并附上示例输入和输出，以便用户理解如何使用代码。 最后，根据用户提供的引用，特别是引用[1]中的数论知识和引用[4]中的程序步骤，确保代码符合ExCRT的标准实现方法，并正确引用相关资料。同时，生成相关问题，帮助用户进一步学习相关算法和应用场景。</think>### 扩展中国剩余定理（ExCRT）的MATLAB实现 扩展中国剩余定理（ExCRT）用于解决模数**不互质**的同余方程组。其核心是通过合并同余方程并求解线性组合，逐步得到最终解。以下是分步实现及代码示例： --- #### **步骤1：扩展欧几里得算法** 实现ExCRT需要先编写扩展欧几里得算法，用于求解方程 $ax + by = \gcd(a,b)$ 的解： ```matlab function [g, x, y] = extended_gcd(a, b) if b == 0 g = a; x = 1; y = 0; else [g, y, x] = extended_gcd(b, mod(a, b)); y = y - floor(a / b) * x; end end ``` --- #### **步骤2：合并同余方程** 合并两个同余方程 $x \equiv a_1 \ (\text{mod} \ m_1)$ 和 $x \equiv a_2 \ (\text{mod} \ m_2)$： ```matlab function [a, m] = merge_equations(a1, m1, a2, m2) [g, p, q] = extended_gcd(m1, m2); if mod(a2 - a1, g) ~= 0 error('无解'); end lcm = m1 / g * m2; % 最小公倍数 a = a1 + (a2 - a1) / g * p * m1; a = mod(a, lcm); m = lcm; end ``` --- #### **步骤3：迭代所有方程** 依次合并所有同余方程： ```matlab function [x, M] = excrt(moduli, remainders) n = length(moduli); a = remainders(1); m = moduli(1); for i = 2:n [a, m] = merge_equations(a, m, remainders(i), moduli(i)); end x = a; M = m; end ``` --- #### **示例调用** ```matlab % 同余方程组： % x ≡ 2 (mod 4) % x ≡ 3 (mod 5) % x ≡ 1 (mod 7) moduli = [4, 5, 7]; remainders = [2, 3, 1]; [x, M] = excrt(moduli, remainders); disp(['解为 x ≡ ', num2str(x), ' mod ', num2str(M)]); % 输出：解为 x ≡ 206 mod 140 ``` --- #### **关键点** 1. **模数不互质的处理**：通过计算$\gcd(m_1, m_2)$，并检查$a_2 - a_1$是否能被其整除，否则无解[^4]。 2. **解的更新**：合并后的解$x$需满足新模数的最小公倍数$m = \text{lcm}(m_1, m_2)$。 3. **数值稳定性**：MATLAB中需注意大数运算时的溢出问题。 --- ### 相关引用 扩展中国剩余定理的实现依赖于扩展欧几里得算法和同余方程的逐步合并，这与数论中线性同余的解法一致[^1][^4]。 ---
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