扩展中国剩余定理(EXCRT)

最新推荐文章于 2024-10-13 16:29:01 发布
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分类专栏： 数论 ACM 文章标签： acm竞赛
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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/WedsonLin/article/details/110136303
本文详细介绍了扩展中国剩余定理（EXCRT），用于解决不完全互素的一元线性同余方程组。通过扩展欧几里得算法找到整数解，并给出算法流程，包括如何避免数据溢出。最后提供了模板代码供参考。

摘要生成于 C知道 ，由 DeepSeek-R1 满血版支持， 前往体验 >

扩展中国剩余定理(EXCRT)

中国剩余定理可以解形如下面的一元线性同余方程组：
{ ans≡x1(moda1)ans≡x2(moda2)ans≡x3(moda3)...ans≡xn(modan) \left\{\begin{matrix} ans\equiv x_1\pmod{a_1} \\ ans\equiv x_2\pmod{a_2} \\ ans\equiv x_3\pmod{a_3}\\ .\\ .\\ .\\ ans\equiv x_n\pmod{a_n} \end{matrix}\right.⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​ans≡x1​(moda1​)ans≡x2​(moda2​)ans≡x3​(moda3​)...ans≡xn​(modan​)​
其中a1,a2,a3…an两两互素。

如果a1,a2,a3…an不两两互素时，就不能利用中国剩余定理去解上述方程组了。因为不存在另外n-1个ai的乘积关于剩下一个数的逆元。

我们先考虑将如下方程组合并成一个方程
{ ans≡x1(moda1)ans≡x2(moda2)\left\{\begin{matrix} ans\equiv x_1\pmod{a_1} \\ ans\equiv x_2\pmod{a_2} \\ \end{matrix}\right.{ ans≡x1​(moda1​)ans≡x2​(moda2​)​

该方程存在唯一解ans，使得ans=m1a1+x1=m2a2+x2ans=m_1a_1+x_1=m_2a_2+x_2ans=m

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【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT）
远行客
08-29 767
传送门：洛谷:p4777 中国剩余定理(CRT) ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪xxx≡≡⋮≡a1(modp1)a2(modp2)an(modpn){x≡a1(modp1)x≡a2(modp2)⋮x≡an(modpn)\begin{cases} x &\equiv& a_1 \pmod {p_1} \\ x &\equiv& a_2 \pmod {p_2} \\ &\vdots& \\ x &\e...
洛谷 P4777 【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT）
qq_38232157的博客
11-01 310
扩展中国剩余定理（EXCRT）
扩展中国剩余定理（ExCRT）
wanglianda2007的博客
03-22 1701
详解扩展中国剩余定理。
扩展中国剩余定理（EXCRT）
Maple的博客
07-19 307
扩展中国剩余定理（EXCRT）
中国剩余定理（CRT）和扩展中国剩余定理（EXCRT）
weixin_41247488的博客
05-14 344
问题引出 “有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？”即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。——百度百科 解题思路 {x≡2(mod 3)x≡3(mod 5)x≡2(mod 7)\left\{\begin{matrix}x\equiv 2(mod\ 3)\\x\equiv 3(mod\ 5)\\x\equiv 2(m
P4777 【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT）、P3846 [TJOI2007] 可爱的质数/【模板】BSGS、P4195 【模板】扩展 BSGS/exBSGS
u014114223的博客
08-11 923
这段代码的主要目的是通过扩展的 Baby Step Giant Step 算法来求解形如。总的来说，这段代码的思路是通过分块和哈希表来加速对离散对数问题的求解。函数：这是一个递归实现的求最大公约数的函数，使用欧几里得算法。，输出 "no solution" ，否则输出计算得到的解。，输出 "No Solution" ，否则输出计算得到的解。函数是扩展欧几里得算法，用于计算两个数的最大公约数。函数求解，并根据结果输出相应的信息。函数求解，并根据结果输出相应的信息。函数中：读取输入的组数。函数求解并输出结果。
扩展的中国剩余定理
f3244077856的博客
10-13 723
中国剩余定理最早由中国古代数学家孙子（孙秀英）在《孙子算经》一书中提出。这本书是中国古代数学的重要著作之一，成书于4世纪至5世纪之间。中国剩余定理是一种用于求解一类线性同余方程组的定理。线性同余方程组是指形式为x ≡ b1 (mod n1), x ≡ b2 (mod n2), ..., x ≡ br (mod nr)的方程组，其中x是未知数，bi是已知的整数，ni是不同的正整数。中国剩余定理的由来是为了解决天文学和农业中的一些实际问题。
扩展中国剩余定理(exCRT)
Dawn的博客
11-09 312
首先 了解扩展中国剩余定理 你真的一点都不需要了解中国剩余定理 不过 你需要了解逆元 扩展欧几里得 所以… 如果不会逆元的请看这里(想学中国剩余定理也有−−−−−>----->−−−−−> 详解数论从入门到入土 想更好地把逆元应用到欧拉函数、欧拉定理、费马小定理、中国剩余定理请看这里−−−−−>----->−−−−−>数论1 想更好地把逆元应用到组合数、扩展欧几...
excrt（扩展中国剩余定理）
qq_45744856的博客
08-28 1384
EXCRT(扩展中国剩余定理) 拖更了 此时的模数不一定两两互质，导致了不能直接像之前那样只满足其中一个模数然后依次累加。 所以就只能换其他思路 /* 不妨来看其中两个条件满足 x=a1+m1*x1 x=a2+m2*x2 然后直接变换就得到m1*x1-m2*x2=a2-a1 要使得x尽量的小，那么x1和x2都要尽量的小 根据裴蜀定理 ax+by=c有整数解的充要条件就是(a,b)|c 也就是c是gcd(a,b)的整数倍数 所以基于此 设g
扩展中国剩余定理(EXCRT)快速入门
weixin_30304375的博客
09-24 354
问题 传送门 看到这个问题感觉很难??? 不用怕,往下看就好啦 假如你不会CRT也没关系 EXCRT大致思路 先考虑将方程组两两联立解开,如先解第一个与第二个,再用第一个与第二个的通解来解第三个...(以此类推) 那么怎么解第一个与第二个同余方程呢? \[ \begin{cases} x \equiv a_1 \pmod{b_1}\\ x \equiv a_2 \pmod{b_2}\\ ...
扩展中国剩余定理 (ExCRT) 学习笔记
weixin_30273501的博客
08-21 176
扩展中国剩余定理 (ExCRT) 学习笔记 预姿势： 扩展中国剩余定理和中国剩余定理半毛钱关系都没有 问题： 求解线性同余方程组： \[ f(n)=\begin{cases} x\equiv a_1\pmod {m_1}\\ x\equiv a_2\pmod {m_2}\\ ... ...\\ x\equiv a_n\pmod {m_n}\\ \end{cases}\] 的解\(x\)。...
中国剩余定理(CRT) && 扩展中国剩余定理(EX_CRT)
FIVE
01-03 2232
中国剩余定理（解决模数互质的同余方程组） 　　在《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？”这个问题称为“孙子问题”，该问题的一般解法国际上称为“中国剩余定理”。 具体解法分三步： 找到三个数：从3和5的公倍数中找出被7除余2的最小数20，从3和7的公倍数中找出被5除余3的最小数63，最后从...
中国剩余定理（CRT）&扩展中国剩余定理(exCRT)
zhouyuheng2003的博客
01-02 727
前言 中国剩余定理（也叫孙子定理）并不是很复杂，由于最近用到了，以前学的时候还不写博客，所以现在补一下 中国剩余定理（CRT） 问题 给出nnn个同余方程 x≡a1(modp1)x≡a2(modp2)⋅⋅     ⋅⋅⋅        ⋅⋅⋅x≡an(modpn) \b...
扩展中国剩余定理
Xm_wy的博客
04-08 311
概述   扩展中国剩余定理(exCRT)(exCRT)(exCRT)是中国剩余定理(CRT)(CRT)(CRT)的更普遍版本。   它取消了中国剩余定理的互质条件，所以可能无解。同时，不一定互质也说明无法用CRTCRTCRT的方法解exCRTexCRTexCRT所以我们需要考虑新的算法。 求解 {x≡a1(mod m1)x≡a2(mod m2)x≡a3(mod m3)⋮x≡an(mod mn) \begin{cases} x\equiv a_1(mod\ m_1) \
中国剩余定理&扩展中国剩余定理
m0_73830679的博客
07-21 1992
那么就有ax+by=k*gcd(a,b),那么我们知道x0,y0是ax+by=gcd(a,b)的一组解时那么他的特解就是k*x0,ky0;(其中通过d=exgcd(a,b,x,y),lcm(a1,a2)=a1*a2/d;同余方程：x≡a(mod b) <=> x(mod b)=a(mod b) <=> x%b=a%b;a/b=a*b^(-1)(表示逆元)=a/b*b*b^(-1)(mod p)那么如果求ax+by=c的一组解的话 其有解当且仅当 gcd(a,b)|c,c能把gcd(a,b)整除掉。
中国剩余定理 && 扩展中国剩余定理
Wind_bow的博客
02-03 319
https://blog.youkuaiyun.com/niiick/article/details/80229217 https://blog.youkuaiyun.com/destiny1507/article/details/81751168 https://www.cnblogs.com/MashiroSky/p/5918158.html https://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/...
扩展中国剩余定理matlab
最新发布
03-10
首先，我需要明确扩展中国剩余定理（Extended Chinese Remainder Theorem, ExCRT）和普通CRT的区别。根据之前的引用，CRT解决的是模数两两互质的情况，而ExCRT处理的是模数不互质的情况，可能需要通过合并同余方程...
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