扩展中国剩余定理(EXCRT)

扩展中国剩余定理(EXCRT)

中国剩余定理可以解形如下面的一元线性同余方程组：
$$\{\begin{array}{c}ans\equiv x_1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{a}_1)\\ ans\equiv x_2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{a}_2)\\ ans\equiv x_3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{a}_3)\\ .\\ .\\ .\\ ans\equiv x_n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{a}_n)\end{array}$$
其中a₁,a₂,a₃…a_n两两互素。

如果a₁,a₂,a₃…a_n不两两互素时，就不能利用中国剩余定理去解上述方程组了。因为不存在另外n-1个a_i的乘积关于剩下一个数的逆元。

我们先考虑将如下方程组合并成一个方程
$$\{\begin{array}{c}ans\equiv x_1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{a}_1)\\ ans\equiv x_2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{a}_2)\end{array}$$

该方程存在唯一解ans，使得ans=m1a1+x1=m2a2+x2ans=m_1a_1+x_1=m_2a_2+x_2ans=m