UVA 11426

WedsonLin

于 2021-03-05 20:41:05 发布

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分类专栏：数论 ACM 文章标签： acm竞赛数论欧拉函数

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UVA 11426（欧拉函数）

求 $∑i=2N−1∑j=i+1Ngcd(i,j)\sum_{i=2}^{N-1}\sum_{j=i+1}^Ngcd(i,j)$

一开始想过用莫比乌斯反演做…然而做不出来。

解：
$∑i=1N−1∑j=i+1Ngcd(i,j)=∑i=2N∑j=1i−1gcd(i,j)\sum_{i=1}^{N-1}\sum_{j=i+1}^Ngcd(i,j)=\sum_{i=2}^N\sum_{j=1}^{i-1}gcd(i,j)$
$g c d (i, j) = d$ 等价于 $gcd(id,jd)=1gcd(\frac{i}{d},\frac{j}{d})=1$
既然直接求 $g c d (i, j)$ 比较难，那么我们是否可以求满足 $[g c d (i, j) = = 1]$ 的 $(i, j), j < i$ ，这样每对 $(k * i, k * j)$ 对答案的贡献就是 $k$ 。

因为 $j$ 严格小于 $i$ ， $g c d (i, j) = = 1$ 的个数就是 $ϕ(i)\phi(i)$ 。
现在考虑 $k$ 的取值范围，因为要满足 $1≤j<i≤n1\le j<i\le n$ ，所以易得 $k$ 的取值范围是 $1≤k≤⌊ni⌋1\le k\le \lfloor\frac{n}{i}\rfloor$ 。

那么每个 $i$ 对答案的贡献就是 $1+2+...+⌊ni⌋1+2+...+\lfloor\frac{n}{i}\rfloor$

$∑i=1N−1∑j=i+1Ngcd(i,j)=∑i=2N∑j=1i−1gcd(i,j)=∑i=2Nϕ(i)(1+⌊ni⌋)⌊ni⌋2\begin{aligned} \sum_{i=1}^{N-1}\sum_{j=i+1}^Ngcd(i,j)&=\sum_{i=2}^N\sum_{j=1}^{i-1}gcd(i,j)\\ &=\sum_{i=2}^N\phi(i)\frac{(1+\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}{2} \end{aligned}$

时间复杂度 $O (t n) + O (N)$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int max_n=4e6+5;
int prime[max_n];
int vis[max_n];
int cnt=0;
int e[max_n];
void init(void)
{
	for(int i=2;i<max_n;i++)
	{
		if(!vis[i]){
			prime[cnt++]=i;
			e[i]=i-1;
		}
		for(int j=0;j<cnt&&i*prime[j]<max_n;j++)
		{
			vis[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0){
				e[i*prime[j]]=e[i]*prime[j];
				break;
			} 
			e[i*prime[j]]=e[i]*e[prime[j]];
		}
	}
}
int main(void)
{
	int n;
	init();
	while(~scanf("%d",&n)&&n)
	{
		long long ans=0,t;
		for(int i=2;i<=n;i++)
		{
			t=n/i;
			t=(1+t)*t/2;
			ans+=1ll*e[i]*t;
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
}
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