Codeforces Round #290 (Div. 2) D

最新推荐文章于 2021-12-14 21:29:46 发布

WedsonLin

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分类专栏：数论 ACM 文章标签： acm竞赛

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博客详细解析了Codeforces Round #290 (Div. 2) D题目的解题思路。题目要求找到gcd为1的数的组合，使函数代价最小化。利用裴蜀定理和gcd性质，通过动态规划求解最优解。文章提供了具体的算法和代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Codeforces Round #290 (Div. 2) D

题目要求满足如下约束条件的元组 $(l1,l2,l3,…,li)(l_1,l_2,l_3,\dots,l_i)$ ：
$l1x1+l2x2+l3x3+⋯+lixi=1l_1x_1+l_2x_2+l_3x_3+\dots+l_ix_i=1$
使得函数 $F=∑i=1nciF=\sum_{i=1}^{n}c_i$ 最小化。

说人话就是找到若干个数，它们的gcd=1且代价最小。

根据裴蜀定理，对于不全为0的整数a,b,存在整数解x,y,满足 $a x + b y = g c d (a, b)$

进而方程 $a x + b y = c$ 有整数解当且仅当 $g c d (a, b) ∣ c$ 。

扩展： $c_1x_1+c_2x_2+c_3x_3+..+c_nx_n=d$ 有解当且仅当 $gcd(c1,c2,c3,…,cn)∣dgcd(c_1,c_2,c_3,\dots,c_n)|d$

而找n个数的gcd可以通过两两求解。例如 $gcd(a_1,a_2,a_3)=gcd(gcd(a_1,a_2),a_3)$

本题可用动态规划的方法求解，用dp[x]保存当若干个数的gcd为x时的最小代价。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n;
const int max_n=305;
ll a[max_n];
ll b[max_n];
unordered_map<ll,ll> dp;
vector<ll> v;
ll gcd(ll a,ll b)
{
	return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int main(void)
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=0;i<n;i++)
	scanf("%lld",&a[i]);
	for(int i=0;i<n;i++)
	scanf("%lld",&b[i]);
	ll ans=a[0];
	for(int i=1;i<n;i++)ans=gcd(ans,a[i]);
	if(ans!=1){
		printf("-1\n");
		return 0;
	}
	dp[a[0]]=b[0];
	v.push_back(a[0]);
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		ll cnt=v.size();
		if(!dp[a[i]]){
			dp[a[i]]=b[i];
			v.push_back(a[i]);
		}
		else dp[a[i]]=min(dp[a[i]],b[i]);
		for(int j=0;j<cnt;j++)
		{
			ll t=gcd(v[j],a[i]);
			if(!dp[t]){
				dp[t]=dp[v[j]]+b[i];
				v.push_back(t);
			}
			else dp[t]=min(dp[t],dp[v[j]]+b[i]);
		}
	}
	printf("%lld\n",dp[1]);
}