扩展中国剩余定理（ExCRT）

扩展中国剩余定理（ExCRT）可以解决一次线性同余方程组的问题。

扩展中国剩余定理

现有关于$x$的一次同余方程组：$\stackrel{n}{\underset{i=1}{\mathbb{I}}}\{\begin{array}{c}{x}_i\equiv a_i(mod{m}_i)\end{array}$

不保证模数两两互质。
要求出线性同余方程组的一组解，或判断无解。

合并同余方程

方法很简单，ExCRT通过把两个线性同余方程合并成一个，进而解出答案。

对于两个同余方程：
$\{\begin{array}{c}{x}_1\equiv a_1(mod{m}_1)\\ x_2\equiv a_2(mod{m}_2)\end{array}$

先把它们转成不定方程：
$\{\begin{array}{c}{x}_1+m_1\cdot y_1=a_1\\ x_2+m_2\cdot y_2=a_2\end{array}$

若有$x_1=x_2$，则充要条件为：
$m_1\cdot y_1-m_2\cdot y_2=a_1-a_2$

这样就得到了一个新的不定方程，根据裴蜀定理，若$\gcd (m_1,m_2)\nmid a_1-a_2$则无解。

否则有解，用Exgcd可以求出一组解$(p_0,q_0)$。然后求出通解：
$y_1=p_0+k\cdot \frac{lcm(m_1,m_2)}{m_1}$
$y_2=q_0-k\cdot \frac{lcm(m_1,m_2)}{m_2}$

我们把通解$y_1$回代，就得到了满足条件的$x$的通解：
$x_1=a_1-m_1{p}_0-k\cdot lcm$

我们看到，$x$合法的最小周期是$lcm$，因此可以构造出新的同余方程：
$x\equiv a_1-m_1{p}_0(modlcm)$

这样就合并了两个同余方程。合并n-1次，得到一个同余方程，问题就很显然了。

时间复杂度O(nlogn)

构造答案式

构造答案式的过程如下：
对于$\{\begin{array}{c}{x}_1\equiv a_1(mod{m}_1)\\ x_2\equiv a_2(mod{m}_2)\end{array}$

1. 解方程$m_1\cdot x+m_2\cdot y=\gcd (m_1,m_2)$
2. 若$a_1\not\equiv a_2(\mathrm{mod}\gcd (m_1,m_2))$则无解，否则有解
3. 两个同余方程合并为$x\equiv \frac{a_1{m}_{2}y+a_2{m}_{1}x}{gcd(m_1,m_2)}\left(\mathrm{mod}lcm(m_1,m_2)\right)$

对比观察中国剩余定理的合并结果：$X\equiv a_1{m}_{2}y+a_2{m}_{1}x(\mathrm{mod}{m}_1{m}_2)$，我们发现，CRT是ExCRT的特殊情况。

接下来我们说一下这个过程：

1. 首先把两个同余方程转不定方程，得到$m_1\cdot x-m_2\cdot y=a_1-a_2$。根据裴蜀定理，若$gcd(m_1,m_2)|a_1-a_2$，即$a_1\equiv a_2(\mathrm{mod}\gcd (m_1,m_2))$时有解，否则无解。
2. 若要解$m_1\cdot x-m_2\cdot y=a_1-a_2$，只需要解$m_1\cdot x+m_2\cdot (-y)=\gcd (m_1,m_2)$，令$y=-y$，然后翻倍即可。
3. 构造答案式。（也算是合并了）

时间复杂度O(nlogn)

后记

于是皆大欢喜。