【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT）

最新推荐文章于 2025-08-14 21:54:04 发布
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本文深入探讨了中国剩余定理(CRT)及其扩展形式——扩展中国剩余定理(EXCRT)，并提供了相关代码实现。通过EXCRT，可以解决更复杂的同余方程组问题，为数论和算法设计提供理论支持。

传送门：洛谷:p4777

中国剩余定理(CRT)

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪xxx≡≡⋮≡a1(modp1)a2(modp2)an(modpn) { x ≡ a 1 ( mod p 1 ) x ≡ a 2 ( mod p 2 ) ⋮ x ≡ a n ( mod p n )

给定 a1,a2,...,an,p1,p2,..,pn a 1 , a 2 , . . . , a n , p 1 , p 2 , . . , p n ( pi p i 分别为互不相同的素数)，求解满足上式的最小非负整数解 x x 。
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扩展中国剩余定理(EXCRT)
WedsonLin的博客
11-27 376
扩展中国剩余定理(EXCRT) 中国剩余定理可以解形如下面的一元线性同余方程组： {ans≡x1(moda1)ans≡x2(moda2)ans≡x3(moda3)...ans≡xn(modan) \left\{\begin{matrix} ans\equiv x_1\pmod{a_1} \\ ans\equiv x_2\pmod{a_2} \\ ans\equiv x_3\pmod{a_3}\\ .\\ .\\ .\\ ans\equiv x_n\pmod{a_n} \end{matrix}\right.
洛谷 P4777 【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT）
qq_38232157的博客
11-01 351
扩展中国剩余定理（EXCRT）
扩展中国剩余定理模板
羊驼的博客
11-23 352
题目链接：点击这里 题目大意： 给定 nnn 组非负整数 ai,bia_i, b_iai​,bi​ ，求解关于 xxx 的方程组的最小非负整数解。 {x≡b1mod  m1x≡b2mod  m2...x≡bnmod  mn \left \{ \begin{array}{c} x \equiv b_1 \mod m_1\\ x \equiv b_2 \mod m_2\\ ...\\ x \equiv b_n \mod m_n\\ \end{array} \right. ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​x≡b1​modm1​
题解：P4777 【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT）
最新发布
Benny_250的博客
08-14 664
本文介绍了如何利用扩展中国剩余定理（EXCRT）解决非互质模数的同余方程组问题。通过将两个同余方程转化为不定方程，使用扩展欧几里得算法求出通解，最终合并为单一方程。代码实现展示了这一过程，关键步骤包括求解公约数、调整解的范围，以及逐步合并所有方程。该方法有效解决了传统中国剩余定理无法处理非互质模数的情况，最终输出最小非负整数解。
数论—P4777 【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT）
沫惘的博客
02-04 238
题目链接 P4777 【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT） 题目分析 可参照博客：https://blog.youkuaiyun.com/dafang_xu/article/details/50818919 模数两两互质情况可阅读博客 对于本题，很显然，数据并不能保证模数两两互质，所以我们就要通过合并方程和乘法逆元（不知道请自行搜索，本人理解也不到位） 的方式来解决，对于{x≡a1 (mod m1)(1)x≡a2 (mod m2)(2)...x≡an (mod mn)(n) \begin{case
【模板】扩展中国剩余定理
cqbzlydd的博客
08-21 215
LUOGU_4777_【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT） 注意加快速乘，防止整数溢出。 #include<bits/stdc++.h> #define ll long long using namespace std; const int mx=1e5+5; int n; ll a[mx],m[mx]; ll fmul(ll x,ll y,ll z) { x%=z,y%=z; if(y<0) x=-x,y=-y; ll sum(0); for(;y;y>>=1) {
扩展中国剩余定理
weixin_33725807的博客
02-22 145
若有以下两个同余方程 x ≡ a1 mod n1 x≡ a2 mod n2 x= n1*k1+a1 = n2*k2+a2 ∴ n1*k1 = n2*k2+a2-a1 ∴ n1*k1≡ a2-a1 mod n2 由扩展欧几里得定理得，同余方程有解的条件是 gcd（n1，n2） | （a2-a1） 令d=gcd（n1，n2），c=a2-a1 则n1/d * k1≡ c/d mod...
中国剩余定理 && 扩展中国剩余定理 （模板）
辞树
10-19 638
中国剩余定理 &amp;&amp; 扩展中国剩余定理 一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。 例题： 一个正整数K，给出K Mod 一些质数的结果，求符合条件的最小的K。例如，K % 2 = 1, K % 3 = 2, K % 5 = 3。符合条件的最小的K = 23。 #include&lt;bits/stdc++.h&gt; using namespace std;...
中国剩余定理与扩展模板
KobeDuu
12-12 540
中国剩余定理： 解决模数互质的线性同余方程组： 中国剩余定理给出了这类方程的解法： （1）先求 X1 使得 X1 整除5、7并且 X1%3==2，再求 X2 使得 X2 整除3、7并且 X2%5==3，最后求 X3 使得 X3 整除3、5 并且 X3%7==2 （2）那么 X = X1 + X2 + X3 必然是上述同余方程组的一个解，验证第一个方程：X2%3==0，X3%3==0，...
扩展中国剩余定理模板（EXCRT)
C2022lihan的博客
03-24 434
struct Node { LL m, b; }; struct ExCrt { int n; Node a[Maxk + 5]; LL exgcd (LL x, LL y, LL &a, LL &b) { if (y == 0) { a = 1, b = 0; return x; } LL tmp = exgcd (y, x % y, b, a);
【模板】exCRT（扩展中国剩余定理）
ETO的博客
09-03 315
题目：POJ2891 算法过程：exCRT 代码： #include &lt;iostream&gt; #include &lt;algorithm&gt; #include &lt;cstdio&gt; #include &lt;cstdlib&gt; #include &lt;cmath&gt; #include &lt;cctype&gt; #define int long long...
扩展中国剩余定理（ExCRT）
wanglianda2007的博客
03-22 1915
详解扩展中国剩余定理。
excrt 【模板】
qq_42211531的博客
09-17 300
void exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y, ll &g) { if(b == 0) { g = a; x = 1; y = 0; return ; } ll x1, y1; exgcd(b, a % b, x1, y1, g); x = y...
【EXCRT模板】
KIKO_caoyue的博客
09-09 340
防止爆long long 使用了慢速乘，结果T了。 然后换成普通乘就过了… 这数据也太假了，n<=1e15，很有可能爆long long 的啊… 反正是EXCRT的板子题… #include <bits/stdc++.h> #define sc(n) scanf("%d",&n) #define pt(n) printf("%d\n",n) #define rep(i,a...
扩展中国剩余定理（EXCRT）
Maple的博客
07-19 336
扩展中国剩余定理（EXCRT）
扩展中国剩余定理matlab
03-10
<think>好的，用户想找关于扩展中国剩余定理在MATLAB中的实现或者教程。首先，我需要明确扩展中国剩余定理（Extended Chinese Remainder Theorem, ExCRT）和普通CRT的区别。根据之前的引用，CRT解决的是模数两两互质的情况，而ExCRT处理的是模数不互质的情况，可能需要通过合并同余方程逐步求解。 接下来，我需要确认用户的需求：他们可能需要MATLAB代码示例或者相关教程。我需要检查现有的引用资料是否提到了ExCRT的具体算法。引用[4]提到程序中求k1*a1 = gcd(a1,a2) mod a2的解，这可能涉及到扩展欧几里得算法，而这是ExCRT的关键部分。因此，可能需要结合扩展欧几里得算法来实现ExCRT。 然后，我应该考虑如何在MATLAB中实现扩展欧几里得算法，因为这是合并同余方程的基础。需要编写一个函数来计算模逆或者求解贝祖等式。接着，根据ExCRT的步骤，逐步合并每个同余方程，检查是否存在解，并更新当前的解和模数。 可能遇到的问题包括如何处理模数不互质的情况，以及在合并方程时如何处理无解的情况。需要确保代码中包括这些情况的处理，比如检查每个步骤中的余数是否满足gcd条件。 另外，用户可能需要教程或代码示例，所以提供一个分步的代码解释会更好。需要确保代码结构清晰，注释详细，并附上示例输入和输出，以便用户理解如何使用代码。 最后，根据用户提供的引用，特别是引用[1]中的数论知识和引用[4]中的程序步骤，确保代码符合ExCRT的标准实现方法，并正确引用相关资料。同时，生成相关问题，帮助用户进一步学习相关算法和应用场景。</think>### 扩展中国剩余定理（ExCRT）的MATLAB实现 扩展中国剩余定理（ExCRT）用于解决模数**不互质**的同余方程组。其核心是通过合并同余方程并求解线性组合，逐步得到最终解。以下是分步实现及代码示例： --- #### **步骤1：扩展欧几里得算法** 实现ExCRT需要先编写扩展欧几里得算法，用于求解方程 $ax + by = \gcd(a,b)$ 的解： ```matlab function [g, x, y] = extended_gcd(a, b) if b == 0 g = a; x = 1; y = 0; else [g, y, x] = extended_gcd(b, mod(a, b)); y = y - floor(a / b) * x; end end ``` --- #### **步骤2：合并同余方程** 合并两个同余方程 $x \equiv a_1 \ (\text{mod} \ m_1)$ 和 $x \equiv a_2 \ (\text{mod} \ m_2)$： ```matlab function [a, m] = merge_equations(a1, m1, a2, m2) [g, p, q] = extended_gcd(m1, m2); if mod(a2 - a1, g) ~= 0 error('无解'); end lcm = m1 / g * m2; % 最小公倍数 a = a1 + (a2 - a1) / g * p * m1; a = mod(a, lcm); m = lcm; end ``` --- #### **步骤3：迭代所有方程** 依次合并所有同余方程： ```matlab function [x, M] = excrt(moduli, remainders) n = length(moduli); a = remainders(1); m = moduli(1); for i = 2:n [a, m] = merge_equations(a, m, remainders(i), moduli(i)); end x = a; M = m; end ``` --- #### **示例调用** ```matlab % 同余方程组： % x ≡ 2 (mod 4) % x ≡ 3 (mod 5) % x ≡ 1 (mod 7) moduli = [4, 5, 7]; remainders = [2, 3, 1]; [x, M] = excrt(moduli, remainders); disp(['解为 x ≡ ', num2str(x), ' mod ', num2str(M)]); % 输出：解为 x ≡ 206 mod 140 ``` --- #### **关键点** 1. **模数不互质的处理**：通过计算$\gcd(m_1, m_2)$，并检查$a_2 - a_1$是否能被其整除，否则无解[^4]。 2. **解的更新**：合并后的解$x$需满足新模数的最小公倍数$m = \text{lcm}(m_1, m_2)$。 3. **数值稳定性**：MATLAB中需注意大数运算时的溢出问题。 --- ### 相关引用 扩展中国剩余定理的实现依赖于扩展欧几里得算法和同余方程的逐步合并，这与数论中线性同余的解法一致[^1][^4]。 ---
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