Candy UVA 1639 (数学期望)

Candy UVA 1639 (数学期望)

有两个盒子各有n颗糖(n<=2*10⁵)，从两个盒子取糖的概率为p和1-p，直到一个盒子没糖，求另一个盒子中糖的个数的数学期望。

期望公式为：
$$E=\sum _{i=1}^{n}i\ast E(i)=\sum _{j=0}^n(n-j)\ast C_{n+j}^j[p^{n+1}\ast (1-p{)}^j+(1-p{)}^{n+1}\ast p^j]$$

假设最终看到盒子1没糖，那么盒子1刚好被选中n+1次(包括最后一次被选到)。那么从盒子2拿出糖的个数设为j，所以此时另一个盒子的糖的个数为n-j。整个过程中作出选择的次数为n+j+1，由于最后一次选择必为盒子1，所以只能在前n+j次选择盒子2，选择了j次(拿走了j颗糖)，所以有C(n+j,j)种情况。

同理于对于最终看到盒子2没糖的情况。

由于n最高可达2*10⁵,组合数最高可达C(2n,n)，而且p的n次幂会非常趋近于0，如果直接相乘会造成较大的精度损失。这种情况可以用对数处理。

$$C_{n+j}^j\ast p^{n+1}\ast (1-p{)}^j=e^{{\ln }_{}(C_{n+j}^j\ast p^{n+1}\ast (1-p{)}^j)}=e^{{\ln }_{}{C}_{n+j}^j+(n+1)\ast {\ln }_{}p+j\ast {\ln }_{}(1-p)}$$

且$$C_{n+j+1}^{j+1}=C_{n+j}^j\ast \frac{(n+j+1)}{j+1}$$
$${\ln }_{}{C}_{n+j+1}^{j+1}=\ln C_{n+j}^j+\ln (n+j+1)-\ln (j+1)$$
可以先计算指数部分。
$$E(n-j)=(n-j)\ast [e^{{\ln }_{}{C}_{n+j}^j+(n+1)\ast {\ln }_{}p+j\ast {\ln }_{}(1-p)}+e^{{\ln }_{}{C}_{n+j}^j+(n+1)\ast {\ln }_{}(1-p)+j\ast {\ln }_{}p}]$$

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(void)
{
//	freopen("out.txt","w",stdout);
	int n;
	long double p;
	int t=1;
	while(cin>>n>>p)
	{
		long double lgp=log(p);
		long double lgp1=log(1-p);
		long double lgpn=(n+1)*lgp;
		long double lgp1n=(n+1)*lgp1;
		long double lgc=log(1);
		long double ans1=lgc+lgpn;
		long double ans2=lgc+lgp1n;
		long double ans=(long double)n*(exp(ans1)+exp(ans2));
		for(int j=1;j<n;j++)
		{
			lgc+=log(n+j)-log(j);
			ans1=lgc+lgpn+j*lgp1;
			ans2=lgc+lgp1n+j*lgp;
			ans+=(long double)(n-j)*(exp(ans1)+exp(ans2));
		}
		printf("Case %d: %.6Lf\n",t++,ans);
	}
//	fclose(stdout);
}
//10 0.400000
//100 0.500000
//124 0.432650
//325 0.325100
//532 0.487520
//2276 0.720000