关于BSGS算法

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原创最新推荐文章于 2026-04-02 09:23:16 发布 412 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

BSGS算法初探前言 BSGSBSGSBSGS算法，全称Baby&amp;nbsp;Step&amp;nbsp;Giant&amp;nbsp;StepBaby\ Step\ Giant\ StepBaby&amp;nbsp;Step&amp;nbsp;Giant&amp;nbsp;Step，即大小步算法。某些奆佬也称其为拔（Ba）山（Shan）盖（Gai）世（Shi）算法。它的主要作用是求解形式如xt≡y(mod& 阅读详情

关于BSGS算法

文章中提到的p，如果不加说明则默认为素数。
BSGS算法适用于在求解形如 $ax≡b(modp)a^x\equiv b \pmod p$ 的不等式。

可知 $0≤x<p0\le x<p$ ，那么可以令 $x=A⌈p⌉−B,0<=A,B<=⌈p⌉x=A\lceil\sqrt{p}\rceil-B,0<=A,B<=\lceil\sqrt{p}\rceil$
所以原问题转换成
$pa^{A\lceil\sqrt{p}\rceil-B}\equiv b\bmod p\newline$
即
$pa^{A\lceil\sqrt{p}\rceil}\equiv b*a^B\bmod p$

在O(sqrt(p ))内枚举等式右边的值并储存到哈希表中，然后在O(sqrt(p ))内枚举等式左边的值并在哈希表内查询，等式成立，则有 $x=A⌈p⌉−Bx=A\lceil\sqrt{p}\rceil-B$ $。

BSGS算法也可以处理形如 $xi+1≡a∗xi+b(modp)，求t≡xansx_{i+1}\equiv a*x_i+b \pmod{p} ，求t\equiv x_{ans}$
之类的问题,只需将上述数列转换成等比数列
$xi+1+ba−1≡a∗(xi+ba−1)(modp),a>1x_{i+1}+\frac{b}{a-1}\equiv a*(x_i+\frac{b}{a-1}) \pmod{p},a>1$
那么
$xn+ba−1≡an−1(x1+ba−1)(modp)x_{n}+\frac{b}{a-1}\equiv a^{n-1}(x_1+\frac{b}{a-1}) \pmod{p}$
因为要求 $t≡xanst\equiv x_{ans}$ ，所以上述等式可以转化为
$(t+ba−1)∗rev(x1+ba−1)≡aans−1(modp)(t+\frac{b}{a-1})*rev(x_1+\frac{b}{a-1})\equiv a^{ans-1} \pmod{p}$
只有ans是未知的，所以转化为文章开头所讲的问题。

要注意如果 $x1+ba−1=0x_1+\frac{b}{a-1}=0$ 的话，则没有逆元。这种情况同a<1的情况需要特殊处理。

当然BSGS算法经过一些改动可以处理p不为素数的情况，但本文不敞开论述。

附上一道题目
SDOI 2013(随机数生成器)
AC代码如下：

#include<bits/stdc++.h>//注意0不在乘法群中，因为0元没有逆元 
using namespace std;
const int max_n=1e6;
const int HashMod=1e5;
typedef long long ll;
struct Hash_Map{
	struct Line{int k;int v;int next;}e[max_n];
	int HashMap[HashMod],cnt;
	void init(void)
	{
		memset(HashMap,-1,sizeof(HashMap));
		cnt=0;
	}
	void add(int key,int value,int hashkey)
	{
		e[cnt++]=Line{key,value,HashMap[hashkey]};
		HashMap[hashkey]=cnt-1;
	}
	void insert(int key,int value)
	{
		add(key,value,key%HashMod);
	}
	int find(int key)
	{
		for(int i=HashMap[key%HashMod];i!=-1;i=e[i].next)
		if(e[i].k==key)return e[i].v;
		return -1;
	}
}mp;
ll qpow(ll a,ll n,ll p)
{
	ll ans=1;
	while(n)
	{
		if(n&1)ans=ans*a%p;
		a=a*a%p;
		n>>=1;
	}
	return ans;
}
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
	if(!b){
		x=1,y=0;return ;
	}
	else{
		exgcd(b,a%b,y,x);y-=(a/b)*x;return ;
	}
}
ll rev(ll a,ll p)
{
	ll t,t0;
	exgcd(a,p,t,t0);
	return (t+p)%p;
}
ll BSGS(ll a,ll b,ll p)
{
	a%=p;b%=p;
	if(b==1)return 0;
	mp.init();
	ll m=ceil(sqrt(p));
	for(ll i=0,ret=b;i<=m;i++)
	{
		mp.insert(ret,i);
		ret=ret*a%p;
	}
	ll t=qpow(a,m,p);
	for(ll i=1,ret=t;i<=m;i++)
	{
		int f=mp.find(ret);
		if(f>=0)return i*m-f;
		ret=ret*t%p;
	}
	return -1;
}
int main(void)
{
	freopen("out.txt","w",stdout);
	int t0;
	scanf("%d",&t0);
	ll p,a,b,x,t;
	while(t0--)
	{
		scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&p,&a,&b,&x,&t);
		a%=p;b%=p;t%=p;x%=p;
		ll ans;
		if(a==0){
			if(t==x)ans=1;
			else if(t==b)ans=2;
			else ans=-1;
		}
		else if(a==1&&b!=0){
			ans=(((t-x)+p)%p*rev(b,p)%p+1)%p;
			if(!ans)ans=p;
		}
		else if(a==1&&b==0){
			if(x==t)ans=1;
			else ans=-1;
		}
		else if(a>1){
			int temp=b*rev(a-1,p)%p;
			if(x+temp==0){
				if(t==0)ans=0;
				else ans=-1;
			}
			else ans=BSGS(a,(t+temp)%p*rev(x+temp%p,p)%p,p);
			if(ans!=-1)ans+=1;
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	fclose(stdout);
	return 0;
}