关于组合数取模

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于 2020-10-17 11:40:43 发布 · 305 阅读

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本文探讨了组合数取模的计算方法，包括当n和m较小，可以用杨辉三角递推式解决；n和m较大且p为素数时，利用Lucas定理；当p不是素数时，借助中国剩余定理。详细阐述了每种情况下的计算步骤和技巧，如使用递归和周期性计算减少复杂度。

关于组合数取模

对于C(n,m) mod p (m<=n)

1、如果n,m比较，1<=m<=n<=1000,p<=1e9
可以用杨辉三角递推式去解决，用C[n][m]来储存C(n,m)的值，则递推式为:
C[i][j] mod p=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j]) mod p(1<=j<=i) C[i][0]=1

2、如果n,m较大(1<=m<=n<=1e18)且p是素数
可以用Lucas定理去解决。

Lucas定理的定义：
如果有两个数n,m可以表示为
$n=n_k*p^k+n_{k-1}*p^{k-1}+...+n_1*p^1+n_0$
$m=m_k*p^k+m_{k-1}*p^{k-1}+...+m_1*p^1+m_0$
那么有
$Cmn≡∏i=0kCmini(modp)C_{m}^{n}\equiv\prod_{i=0}^{k}C_{m_i}^{n_i} \pmod p$ 要证明Lucas定理，首先证明 $Cpx≡0(modp)C_{p}^{x} \equiv 0 \pmod{p}$
证:
$pC_{p}^{x}\bmod p=\frac{p!}{x!(p-x)!}\bmod p=\frac{p}{x}*\frac{(p-1)!}{(x-1)!(p-x)!}\bmod p=p*inv(x)*C_{p-1}^{x-1}\bmod p$