关于组合数取模

关于组合数取模

对于C(n,m) mod p (m<=n)

1、如果n,m比较，1<=m<=n<=1000,p<=1e9
可以用杨辉三角递推式去解决，用C[n][m]来储存C(n,m)的值，则递推式为:
C[i][j] mod p=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j]) mod p(1<=j<=i) C[i][0]=1

2、如果n,m较大(1<=m<=n<=1e18)且p是素数
可以用Lucas定理去解决。

Lucas定理的定义：
如果有两个数n,m可以表示为
$$n=n_k\ast p^k+n_{k-1}\ast p^{k-1}+...+n_1\ast p^1+n_0$$
$$m=m_k\ast p^k+m_{k-1}\ast p^{k-1}+...+m_1\ast p^1+m_0$$
那么有
$$C_m^n\equiv \prod _{i=0}^k{C}_{m_i}^{n_i}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$$要证明Lucas定理，首先证明 $$C_p^x\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$$
证:
$$C_p^x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p=\frac{p!}{x!(p-x)!}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p=\frac{p}{x}\ast \frac{(p-1)!}{(x-1)!(p-x)!}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p=$$