UVA 12716 GCD XOR（数论）

WedsonLin

于 2020-09-26 13:59:08 发布

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分类专栏：数论 ACM 文章标签： acm竞赛

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该博客主要介绍了UVA 12716题目的解决方案，涉及数论中的最大公约数(GCD)和异或(XOR)的概念。博主探讨了异或的性质，并提出一个结论：当a>=b时，a-b≤a XOR b，且gcd(a,a-c)=c。因此，通过枚举c并找到相应的a和b，可以解决这个问题。给出的算法复杂度为O(nlogn)。" 138457359,22597875,Linux运维面试宝典：1000+面试题涵盖全栈技术,"['Linux', '运维', '面试指南']

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UVA 12716 GCD XOR（数论）

给出n(1<=n<=3e7)，在[1,n]内有多少对整数对，满足gcd(a,b)=a XOR b

异或的性质：
有 a xor b =c，则 a xor c =b

可以证得，对于a>=b 有 a-b<=a xor b
又因为c是a，b得约数，所以有 c<=a-b

得 c<=a-b<=a xor b
若 a xor b = c ，则必有a-b=c

且 gcd(a,a-c)=c

所以

通过枚举c，通过与素数筛类似的方法得到以c为约数的合数a，
再得到b =a xor c ，那么只需判断是否 b=a-c 即可

也可以通过 b=a-c得到b，再判断 a xor b =c 即可

时间复杂度为O(nlogn)。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int max_n=3e7+5;
long long f[max_n];
int main(void)
{
//	freopen("out.txt","w",stdout);
	memset(f,0,sizeof(f));
	for(int c=1;c*2<max_n;c++)
	for(int i=2;i*c<max_n;i++)
	{
		int a=c*i;
		int b=a-c;
		if((a^b)==c)f[a]++;
	}
	for(int i=2;i<max_n;i++)
		f[i]+=f[i-1];
	int t,e=1;
	cin>>t;
	while(t--){
		int s;
		cin>>s;
		printf("Case %d: %lld\n",e++,f[s]);
	}
//	fclose(stdout);
}
//2
//7
//20000000