【论文精读】时序逻辑应用之模型预测控制Model Predictive Control with Signal Temporal Logic Specifications

前言：因为天天写代码实在是太枯燥了，所以读点其他东西来调剂一下，这样科研进度不至于停下。前面读了几篇关于时序逻辑学习的文章，今天来了解一下时序逻辑公式在控制中的应用。

Raman, V., Donze, A., Maasoumy, M., Murray, R. M., Sangiovanni-Vincentelli, A., & Seshia, S. A. (2014, December). Model predictive control with signal temporal logic specifications. 53rd IEEE Conference on Decision and Control. https://doi.org/10.1109/cdc.2014.7039363

概览

对系统特性做出约束是时序逻辑的作用之一。在这篇文章中，STL可以用来描述系统的safety, response, bounded liveness等多种属性。而控制器的设计要把这些属性约束考虑在内，这篇文章探讨的就是如何将形式语言转化为模型语言，即数学公式，设计控制器使得系统满足时序逻辑约束。本文把混合整数线性规划问题与模型预测控制相结合，完成了对STL公式的编码。验证实验为大楼的能源和温度控制。

流水账笔记

1 Introduction

• 主要工作

1. 将STL约束编码 转换为MILP约束
2. 设计MPC控制器
3. 大楼暖空的模型验证

2 Preliminary

A. Discrete-Time Continuous Systems

离散时间连续系统：采样时间是离散值，信号的状态可以取连续值。
$$x_{t+1}=f(x_t,u_t)$$
DTCS的三要素：

• 初始状态 $x_0$
• 控制信号 ${\mathbf{u}}^N=u_0{u}_1{u}_2...u_{N-1}$
• 状态轨迹(run) $\mathbf{x}\left(x_0,{\mathbf{u}}^N\right)=x_0{x}_1{x}_2\dots x_N$
  这里我们把N称作信号的边界(horizon)，代表装填轨迹的最大编号。
  接下来还定义了代价函数：$J(\mathbf{x},\mathbf{u})$，具体怎么用还没讲。

B. Signal Temporal Logic

参考前几篇文献对STL的定义。
另外补充bounded-time STL的时间上界(Horizon)的求取方法：
所有嵌套额时序操作子的上边界相加，表示为验证时序逻辑公式所需的最小轨迹长度。

C. Robust Satisfication of STL formulas

同这篇文献.

3 Problem Statement

基于STL的优化控制

在系统轨迹符合STL公式$\phi$的前提下，优化一个与系统轨迹有关的代价函数：
$$\begin{array}{ll}{\mathrm{argmin}}_{{\mathbf{u}}^N}& J\left(\mathbf{x}\left(x_0,{\mathbf{u}}^N\right)\right)\\ & \text{ s.t. }\mathbf{x}\left(x_0,{\mathbf{u}}^N\right)\models \phi \end{array}$$

基于STL的模型预测控制

最小化每一步的代价函数：
$$\begin{array}{rl}{\mathrm{argmin}}_{{\mathbf{u}}^{H,t}}& J\left(\mathbf{x}\left(x_t,{\mathbf{u}}^{H,t}\right),{\mathbf{u}}^{H,t}\right))\\ & \text{ s.t. }\mathbf{x}\left(x_0,\mathbf{u}\right)\models \phi \end{array}$$
这里解释一下优化控制的优化函数与MPC的优化函数的主要差别。观察前后两式，唯一不同的就在于输入信号轨迹的长度一个是$N$而另一个是 H