卡尔曼滤波 Kalman Filter

Kalman滤波器是一种状态估计器，用于结合多个包含噪声的传感器数据。

Naive Kalman Filter

NKF是一种线性滤波器，要求系统动态为线性矩阵。

原理

Kalman滤波的核心思想是将系统状态建模为一个随时间变化的过程，并在每个时间步骤上对状态进行估计。它包括两个主要步骤：预测和更新。

1. 预测（Prediction）： 在这一步中，我们使用系统的动态模型来预测下一个时间步骤的状态。这个预测包括两个部分：状态预测和协方差预测。

   • 状态预测： 使用系统模型，例如运动方程，来预测下一个状态。在我们的小车示例中，状态可以包括位置和速度。

   • 协方差预测： 预测状态估计的不确定性，通常用协方差矩阵来表示。

2. 更新（Update）： 在这一步中，我们考虑测量值（传感器数据）来修正我们的状态估计。这个步骤也包括两个部分：卡尔曼增益计算和状态更新。

   • 卡尔曼增益计算： 卡尔曼增益是一个权重，用于衡量测量值和预测值的相对可信度。它的计算依赖于状态预测的不确定性和测量噪声的不确定性。

   • 状态更新： 使用测量值和卡尔曼增益来更新状态估计，以获得更准确的估计值。

实现

假设你有一个小车，你想使用Kalman滤波器来估计小车的位置。你已经有一些传感器数据来测量小车的位置，但这些数据可能会受到噪声的影响。

Kalman滤波的实现：

在Python中，你可以使用NumPy库来实现Kalman滤波。以下是一个简化的代码示例：

import numpy as np

# 初始化状态估计和协方差矩阵
x = np.array([0, 0])  # 初始状态估计，例如 [位置, 速度]
P = np.eye(2)  # 初始协方差矩阵

# 系统模型矩阵，例如小车的运动方程
A = np.array([[1, 1], [0, 1]])

# 测量矩阵，用于将状态映射到测量空间，这里的测量的是位置
H = np.array([1, 0])

# 测量噪声协方差，对位置的测量有误差
R = 1.0

# 过程噪声协方差
Q = np.eye(2) * 0.01

# 测量值
z = 1.2

# 先粗略估计一下
x_hat = np.dot(A, x) # 状态预测估计
P = np.dot(np.dot(A, P), A.T) + Q # 协方差估计

# 用测量值z修正估计
K = np.dot(np.dot(P, H.T), 1 / (np.dot(np