【扩展欧几里得算法】（一）解同余方程 学习笔记

【扩展欧几里得算法】（一）解同余方程 学习笔记

用来干嘛的？

给定正整数a,b，最大公约数d。我们想要求解$ax+by=d$的x，y,扩展欧几里得算法可以解决这一问题

如何实现

扩展欧几里得基于欧几里得算法，回忆一下欧几里得算法求GCD的。
$(a,b)=(b,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$
可以缩小问题规模，把求$(a,b)$最大公约数转化为求$(b,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$的最大公约数
相似的
我们可以先求解出
$(b,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)=d\dots \dots ①$
$bx+(a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)y=d\dots \dots ②$
然后我们可以利用②式求解出原问题
$a{x}^{{}^{\prime }}+b{y}^{{}^{\prime }}=d\dots \dots ③$
$$\begin{gathered} xb+y(a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)=d \\ xb+y(a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor b）=d \\ ay+bx-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor by=d \\ ay+b(x-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y)=d \\ {x}^{{}^{\prime }}=y,y^{{}^{\prime }}=x-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y \end{gathered}$$
exgcd得到了$a{x}_0+b{y}_0=d$的特解，然后得到原线性同余方程的一个特解$\frac{c}{d}{x}_0$
线性同余方程的通解的形式
$$x=\frac{c}{d}{x}_0$$