【POJ 3090】Visible Lattice Points

最新推荐文章于 2019-08-05 20:07:58 发布

Heilzenith

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分类专栏：题解文章标签： ACAG 数论欧拉函数

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/WHZ2018/article/details/81269316

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本文探讨了一个n×n平面直角坐标系中，从原点向第一象限观察可见到的互质坐标对数量的问题。通过分析得出，只有当坐标(x,y)的最大公约数为1时才能被看到。采用欧拉函数的概念简化了计算过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

一个 $n\times n(1≤n≤1000)$ 的平面直角坐标系，输出从原点向第一象限看去，能够看到多少个钉子。

算法分析

对于一个点 $(x,y)$ ，它能够被看到仅当 $gcd(x,y)=1$ 。

将平面直角坐标系分成左上和右下两部分，由于两部分能看到的钉子个数相同，我们选择一边考虑即可。

对于左上部分，有 $1≤x<y≤N$ ，要求 $gcd(x,y)=1$ ，对于每个 $y$ 就是求比它小的数中与它互质的数的个数，这正是欧拉函数的定义。考虑一些边界情况，答案为 $3+2\times\sum_{i=2}^n\phi(i)$ 。

代码实现

#include <cstdio>
const int maxn=1005;
int notprime[maxn],prime[maxn],phi[maxn],idx=0;
inline void eular(int n) {
    for(int i=2;i<=n;++i) {
        if(!notprime[i]) {
            prime[idx++]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=0;j<idx&&i*prime[j]<=n;++j) {
            notprime[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]) phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
            else {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
        }
    }
}
int main() {
    eular(1000);
    int c;scanf("%d",&c);
    for(int kase=1;kase<=c;++kase) {
        int n;scanf("%d",&n);
        int ans=3;
        for(int i=2;i<=n;++i) ans+=2*phi[i];
        printf("%d %d %d\n",kase,n,ans);
    }
    return 0;
}