零基础学图形学(4) 几何知识——点和向量的数学操作

最新推荐文章于 2024-11-03 14:03:37 发布

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本文介绍了3D图形学中点和向量的基本数学操作，包括C++中向量类的定义、向量的长度计算、单位向量的求法、点乘的概念及应用、叉乘的计算及其在坐标系建立中的作用，以及向量的加减法。通过这些基础操作，可以理解向量在3D空间中的投影、夹角计算和坐标系构建等关键概念。

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现在我们已经学习了笛卡尔坐标系统的概念，同事也学习了点和向量相对于坐标的位置，我们现在可以学习一些在点和向量上的最基本的操作，你会在很多的3D程序中发现这些基础的函数。

（1）C++中的向量类

首先让我们定义一个C++向量类

template<typename T>
class Vec3 {
public:
    // 3 most basic ways of initializing a vector
    Vec3() : x(T(0)), y(T(0)), z(T(0)) {}
    Vec3(const T &xx) : x(xx), y(xx), z(xx) {}
    Vec3(T xx, T yy, T zz) : x(xx), y(yy), z(zz) {}
    T x, y, z;
};

（2）向量的长度

向我们之前的段落中提到的，一个向量可以看作是有原点和终点的箭头表示。一个向量不仅指定了从A点到B点的方向，同时也可以得到它们之间的距离。可以通过下面的公式很容易地得到它们的长度，

在数学上，双竖线表示向量的长度。向量的长度有时候也叫做norm 或者标量(magnitude).

template<typename T>
class Vec3 {
public:
    // 3 most basic ways of initializing a vector
    Vec3() : x(T(0)), y(T(0)), z(T(0)) {}
    Vec3(const T &xx) : x(xx), y(xx), z(xx) {}
    Vec3(T xx, T yy, T zz) : x(xx), y(yy), z(zz) {}
    T x, y, z;

    // length can be a method from the class
    T length() {
        return sqrt(x*x + y*y + z*z);
    }
};

// or you can also compute the length in a function which is not part of the class
template<typename T>
T length(const Vec3<T> &v) {
    return sqrt(v.x*v.x + v.y*v.y + v.z*v.z);
}

(3)求单位向量

英语中单位向量有两种表示，normalize或者是normalise.在日常中使用美国语法，所以我们使用的normalize.

单位向量是长度为1的向量，如图1所示。也叫做单位向量。求单位向量很简单。我们首先求向量的长度，然后向量的每个坐标除以相应的长度。数学表达式：

记住C++实现可能已经最优化。首先确定向量的长度是否大于0（因为不允许除以0）,然后我们计算向量长度的倒数，最后向量的每个坐标值乘以这个倒数而不是除以向量的长度。你是知道的，计算机中乘法远比除法简单。这个最优化很重要，因为在渲染中单位化是一个很常见的操作，它可以应用于成千上万的向量中，或许会更多。在这个级别上，任何小的优化都可以节省很多的时间。虽然很多时候编译器会帮你干这件事情，但是你可以在你的代码中准确地表达你的意图。

template<typename T>
class Vec3 {
public:
    // 3 most basic ways of initializing a vector
    Vec3() : x(T(0)), y(T(0)), z(T(0)) {}
    Vec3(const T &xx) : x(xx), y(xx), z(xx) {}
    Vec3(T xx, T yy, T zz) : x(xx), y(yy), z(zz) {}
    T x, y, z;

    // length can be a method from the class
    T length() {
        return sqrt(x*x + y*y + z*z);
    }

    // as a method of the class Vec3
    Vec3<T>& norma