Link/Cut Tree

前置知识：Splay，树链剖分

$LCT$

简介

LCT(Link/Cut-Tree)，又名实链剖分

用于解决动态树问题

引入

给定一棵树，要求以下操作：

1. 1 x y 代表询问从 $x$ 到 $y$ 的路径上的点的权值的和。
2. 2 x y 代表连接 $x$ 到 $y$，若 $x$ 到 $y$ 已经联通则无需连接。
3. 3 x y 代表删除边 $(x,y)$，不保证边 $(x,y)$ 存在。
4. 4 x y 代表将点 $x$ 上的权值变成 $y$。

像这类问题，存在加边和删边操作，被称为动态树问题

概念

• 实边：为平衡时间复杂度而定义，无实际意义，每个节点连0，1，2条实边连向儿子
• 实链：由多条实边组成，构成一个$Splay$结构
• 虚边：连接两个实链
• 辅助树是可以在满足中序遍历、Splay 的性质下任意换根的。
• 虚实链变换可以轻松在辅助树上完成，这也就是实现了动态维护树链剖分。

辅助树

辅助树是由多个$Splay$构成的，多个辅助树结构就构成了森林

1. 辅助树由多棵 Splay 组成，每棵 Splay 维护原树中的一条路径，且中序遍历这棵 Splay 得到的点序列，从前到后对应原树“从上到下”的一条路径。
2. 原树每个节点与辅助树的 Splay 节点一一对应。
3. 辅助树的各棵 Splay 之间并不是独立的。每棵 Splay 的根节点的父亲节点本应是空，但在 LCT 中每棵 Splay 的根节点的父亲节点指向原树中 这条链 的父亲节点（即链最顶端的点的父亲节点）。这类父亲链接与通常 Splay 的父亲链接区别在于儿子认父亲，而父亲不认儿子，对应原树的一条 虚边。因此，每个连通块恰好有一个点的父亲节点为空。
4. 由于辅助树的以上性质，我们维护任何操作都不需要维护原树，辅助树可以在任何情况下拿出一个唯一的原树，我们只需要维护辅助树即可。

如图，现在我们有一棵原树

它的辅助树如下

函数声明

1. Splay系列函数
   • pushrev(x)反转函数，用于懒标记
   • PushUp(x)更新
   • PushDown(x)下传标记
   • rotate(x)旋转一次
   • splay(x)$Splay$核心操作
2. LCT操作
   • Access(x)将$x$与 根节点 的路径上所有边改为实边
   • IsRoot(x)判断$x$是否是所在Splay的根。
   • makeroot(x)将$x$变为原树的根。
   • findroot(x)查找原树根
   • split(x, y)使 x 与 y 在同一个 Splay 中
   • link(x, y)连接 x 与 y
   • cut(x, y)切断 x 与 y 之间的边

Splay

不多说，但有一点不一样，已在代码中标注

void pushrev(int x) // 翻转一次x
{
   
   
	swap(tr[x].s[0], tr[x].s[1]);
	tr[x].rev ^= 1;
}

void pushup(int x)
{
   
   
	tr[x].sum = tr[tr[x].s[0]].sum ^ tr[x].v ^ tr[tr[x].s[1]].sum; // 这里以xor为例
}

void pushdown(int x)
{
   
   
	if (tr[x].rev)
	{
   
   
		pushrev(tr[x].s[0]), pushrev(tr[x].s[1]);
		tr[x].rev = 0;
	}
}

void rotate(int x)
{
   
   
	int y = tr[x].p, z = tr[y].p;
	int k