快速沃尔什变换(FWT)

$简介$

$FWT$ 是用于解决对下表进行位运算卷积问题的方法

更确切地说，给定两个多项式 $A$ 和 $B$ ，求多项式 $C$

$$c_i=\sum _{i=j\oplus k}{a}_j{b}_k$$

其中， ⊕表示任意位运算符号（与(&)，或(|)，异或(^)之一）

与 $FFT$ 类似，$FWT$ 先将 $A,B$ 转换成 $FWT$ 的形式，相乘后再用逆变换转换成多项式形式。

以下会对三种位运算符号分别推导。

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$或$

要求

$$c_i=\sum _{i=j\Vert k}{a}_j{b}_k$$

若 $FWT[a{]}_i$ 表示为 $a$ 转成 $FWT$ 形势下的第 $i$ 位

构造 $$FWT[a]\_i=\sum _{j\Vert i=i}{a}_j$$

则

$$FWT[a]\_i\times FWT[b]\_i=\left(\sum _{j\Vert i=i}{a}_j\right)\left(\sum _{k\Vert i=i}{b}_k\right)$$

$$=\sum _{j|i=i}\sum _{k|i=i}{a}_j{b}_k$$

$$=\sum _{(j|k)|i=i}{a}_j{b}_k$$

$$=FWT[c{]}_i$$

且就是说可以通过按位相乘的方式，以 $O(n)$ 的复杂度解决两个 $FWT$ 的卷积。

接下来要解决的是如何求一个多项式的 $FWT$ 。

采用分治策略，每一次将多项式分为左半边 $a_0$ 和右半边 $a_1$ 。

其一定满足左半边下标最高位为 $0$ ，右半边下标最高位为 $1$ 。

如图所示，先分别计算两边的值，由于 $0|1=1$ ，所以最终合并的结果为

$$FWT[a]=merge(FWT[a_0],FWT[a_0]+FWT[a_1])$$

其中 $+$ 表示按位相加。

易得反演递推式：

$$UFWT[a]=merge(UFWT[a_0],UFWT[a_1]-UFWT[a_0])$$

$实现$

void OR(int *a, int x) {
	for (int o = 2, k = 1; o <= n; o <<= 1, k <<= 1)
		for (int i = 0; i < n; i += o)
			for (int j = 0; j < k; j ++ )
				a[i + j + k] = a[i + j + k] + a[i + j] * x;
}

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$与$

要求

$$c_i=\sum _{j\&k=i}{a}_j{b}_k$$

构造 $$FWT[a]\_i=\sum _{j\&i=i}{a}_j$$

则

$$FWT[a]\_i\times FWT[b]\_i=\left(\sum _{j\&i=i}{a}_j\right)\left(\sum _{k\&i=i}{b}_k\right)$$

$$=\sum _{j\&i=i}\sum _{k\&i=i}{a}_j{b}_k$$

$$=\sum _{(j\&k)\&i=i}{a}_j{b}_k$$

$$=FWT[c{]}_i$$

同上或的递推式，由于 $0\&1=0$ ，所以递推式为

$$FWT[a]=merge(FWT[a_0]+FWT[a_1],FWT[a_1])$$

$$UFWT[a]=merge(UFWT[a_0]-UFWT[a_1],UFWT[a_1])$$

$实现$

void AND(int *a, int x) {
	for (int o = 2, k = 1; o <= n; o <<= 1, k <<= 1)
		for (int i = 0; i < n; i += o)
			for (int j = 0; j < k; j ++ )
				a[i + j] = a[i + j] + a[i + j + k] * x;
}

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$异或$

定义 $x\otimes y=popcount(x\&y)\mathrm{mod}2$，其中 $popcount$ 表示二进制下 $1$ 的个数

满足 $(i\otimes j)\text{xor}(i\otimes k)=i\otimes (j\text{xor}k)$

构造 $$fwt[a]\_i=\sum _{i\otimes j=0}{a}_j-\sum _{i\otimes j=1}{a}_j$$

则有

$$fwt[a]\_i\times fwt[b]\_i=\left(\sum _{i\otimes j=0}{a}_j-\sum _{i\otimes j=1}{a}_j\right)\left(\sum _{i\otimes k=0}{b}_k-\sum _{i\otimes k=1}{b}_k\right)$$

$$=\sum _{i\otimes (j\text{xor}k)=0}{a}_j{b}_k-\sum _{i\otimes (j\text{xor}k)=1}{a}_j{b}_k$$

$$=fwt[c{]}_i$$

根据定义得出

$$FWT[a]=merge(FWT[a_0]+FWT[a_1],FWT[a_0]-FWT[a_1])$$

$$UFWT[a]=merge(\frac{UFWT[a_0]+UFWT[a_1]}{2},\frac{UFWT[a_0]-UFWT[a_1]}{2})$$

$实现$

void XOR(int *a, int x) {
	for (int o = 2, k = 1; o <= n; o <<= 1, k <<= 1)
		for (int i = 0; i < n; i += o)
			for (int j = 0; j < k; j ++ ) {
				a[i + j] = a[i + j] + a[i + j + k];
				a[i + j + k] = a[i + j] - a[i + j + k] - a[i + j + k];
				a[i + j] = a[i + j] * x, a[i + j + k] = a[i + j + k] * x;
			}
}