快速傅里叶变换（FFT）

前置知识

多项式

一个多项式表示为 $A(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+...a_n{x}^n$

系数表示法： $A(x)={\sum }_{i=0}^n{a}_i{x}^i$

点值表示法：用 $n$ 个不同的点 $(x,A(x))$ 唯一表示多项式 $A(x)$

复数

前置知识：向量、三角函数

定义

设 $i^2=-1$ ，则一个复数表示为 $a+bi(a,b\in R)$

其中 $bi$ 为虚部， $a$ 为实部

复平面上，从 $(0,0)$ 到 $(a,b)$ 的向量表示 $a+bi$

棱长： $|Z|=\sqrt{a^2+b^2}$

幅角：为从 $x$ 正半轴逆时针旋转的角度

运算

加法： $(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$

乘法几何意义：复数相乘，模长相乘，幅角相加

乘法代数意义：$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$

共轭复数

复数 $Z=a+bi$ 的共轭复数 $\bar{Z}$ 为 $a-bi$

$|Z|=|\bar{Z}|Z\cdot \bar{Z}=a^2+b^2$

复数除法

$z_1=a_1+b_{1}i,z_2=a_2+b_{2}i$

设 $z_0=\frac{z_1}{z_2}$

上下同乘 $z_2$ 的共轭复数 $z^{}$