[线段树] LOJ #535. 「LibreOJ Round #6」花火

最新推荐文章于 2022-05-04 20:54:43 发布

Vectorxj

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本文介绍了一种通过构建二维平面并使用扫描线结合线段树技术来高效解决逆序对问题的方法。该方法通过转化问题为寻找最大权重点对的过程，并实现了一个O(nlogn)时间复杂度的算法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

$Solution$

现将所有数转化为二维平面上的点 $(i,h_i)$ 。
几个性质：

交换两个数 $(i,j),(i\le j, h_i\gt h_j)$ ，减少了的逆序对数是矩形 $\big((i,h_i),(j,h_j)\big)$ 中的点的两倍 $+1$ 。
反证易得，选定的 $i$ 的左上方没有点， $j$ 的右下方没有点。设其属于的点集为 $L,R$ 。

问题相当于要找一个包含最多点的矩形。
对于一个点 $x$ 属于的矩形代表的二元组 $(i,j)$ 满足以下条件：

设 $l\in L$ 为最小的满足 $h_l\gt h_x$ 的数。
设 $r\in R$ 为最大的满足 $h_r\lt h_x$ 的数。
$i\in[l,x-1],r\in[x+1,r]$

建立新的二维平面，这样又相当于点 $x$ 会对新平面中的矩形 $\big((l,r),(x+1,x-1)\big)$ 中的点 $(x,y)$ 有 $1$ 的贡献。找到权值最大的点 $(i,j)$ 就找到了交换的点对 $(i,j)$ 。
扫描线+线段树即可。
时间复杂度 $\mathcal{O}(n\log n)$ 。

#include <bits/stdc++.h>
#define show(x) cerr << #x << " = " << x << endl
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> Pairs;

const int N = 303030;

inline char get(void) {
    static char buf[100000], *S = buf, *T = buf;
    if (S == T) {
        T = (S = buf) + fread(buf, 1, 100000, stdin);
        if (S == T) return EOF;
    }
    return *S++;
}
template<typename T>
inline void read(T &x) {
    static char c; x = 0; int sgn = 0;
    for (c = get(); c < '0' || c > '9'; c = get()) if (c == '-') sgn = 1;
    for (; c >= '0' && c <= '9'; c = get()) x = x * 10 + c - '0';
    if (sgn) x = -x;
}

namespace BIT {
    int maxn;
    int c[N];
    inline void init(int n) {
        maxn = n;
        for (int i = 0; i <= n; i++)
            c[i] = 0;
    }
    inline void add(int x, int a) {
        for (; x <= maxn; x += x & -x)
            c[x] += a;
    }
    inline int sum(int x) {
        int sm = 0;
        for (; x; x -= x & -x)
            sm += c[x];
        return sm;
    }
}
namespace segTree {
    int ad[N << 2], mx[N << 2];
    inline void mark(int o, int x) {
        ad[o] += x; mx[o] += x;
    }
    inline void pushDown(int o) {
        if (ad[o]) {
            mark(o << 1, ad[o]);
            mark(o << 1 | 1, ad[o]);
            ad[o] = 0;
        }
    }
    inline void pushUp(int o) {
        mx[o] = max(mx[o << 1], mx[o << 1 | 1]);
    }
    inline void add(int o, int l, int r, int L, int R, int x) {
        if (l >= L && r <= R) return mark(o, x);
        int mid = (l + r) >> 1;
        pushDown(o);
        if (L <= mid) add(o << 1, l, mid, L, R, x);
        if (R > mid) add(o << 1 | 1, mid + 1, r, L, R, x);
        pushUp(o);
    }
    inline int max(int o, int l, int r, int L, int R) {
        if (l >= L && r <= R) return mx[o];
        int mid = (l + r) >> 1, res = 0;
        pushDown(o);
        if (L <= mid) res = ::max(res, max(o << 1, l, mid, L, R));
        if (R > mid) res = ::max(res, max(o << 1 | 1, mid + 1, r, L, R));
        return res;
    }
}

int n, scnt;
long long ans;
int h[N], pre[N], suf[N];
struct seg {
    int y, x1, x2, v;
    seg(int _y = 0, int _x1 = 0, int _x2 = 0, int _v = 0) {
        y = _y; x1 = _x1; x2 = _x2; v = _v;
    }
    inline bool operator <(const seg &b) const {
        return y < b.y;
    }
};
seg s[N << 1];

inline int getL(int p) {
    int l = 1, r = p, mid, pos;
    while (l <= r) {
        mid = (l + r) >> 1;
        if (pre[mid] < h[p]) l = mid + 1;
        else r = (pos = mid) - 1;
    }
    return pos;
}
inline int getR(int p) {
    int l = p, r = n, mid, pos;
    while (l <= r) {
        mid = (l + r) >> 1;
        if (suf[mid] > h[p]) r = mid - 1;
        else l = (pos = mid) + 1;
    }
    return pos;
}

int main(void) {
    freopen("1.in", "r", stdin);
    freopen("1.out", "w", stdout);
    read(n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) read(h[i]);
    pre[0] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        pre[i] = max(pre[i - 1], h[i]);
    suf[n + 1] = n + 1;
    for (int i = n; i >= 1; i--)
        suf[i] = min(suf[i + 1], h[i]);
    for (int x = 1; x <= n; x++) {
        if (pre[x] == h[x] || suf[x] == h[x]) continue;
        int l = getL(x), r = getR(x);
        s[scnt++] = seg(x + 1, l, x - 1, 1);
        s[scnt++] = seg(r + 1, l, x - 1, -1);
    }
    sort(s, s + scnt);
    for (int i = 0; i < scnt; i++) {
        segTree::add(1, 1, n, s[i].x1, s[i].x2, s[i].v);
        ans = max((int)ans, segTree::max(1, 1, n, 1, n));
    }
    ans = -2 * ans; 
    BIT::init(n);
    for (int i = n; i >= 1; i--) {
        ans += BIT::sum(h[i]);
        BIT::add(h[i], 1);
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}