LOJ 6062 [Hall定理]

Hall定理：

设$M(S)$为与$S$中的点相连的点集，一个二分图$(U,V)(|U|\le|V|)$存在完备匹配，当且仅当满足对于任意点集$x∈U$，都有$|M(X)|\ge|X|$。

$Description$

给出一个长度为$n$的数列{$a_i$}和一个长度为$m$的数列{$b_i$}，求{$a_i$}有多少个长度为$m$的连续子数列能与{$b_i$}匹配。两个数列可以匹配，当且仅当存在一种方案，使两个数列中的数可以两两配对，两个数可以配对当且仅当它们的和不小于$h$。

$Solution$

因为是两个独立的东西在匹配那么就是一个二分图。发现匹配与数列{$b_i$}的顺序无关，如果将其排序后$a_i$匹配到的就是数列{$b_i$}的一个后缀，然后根据$Hall$定理用线段树维护$|M(X)|-|X|$即可。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

inline char get(void) {
    static char buf[100000], *S = buf, *T = buf;
    if (S == T) {
        T = (S = buf) + fread(buf, 1, 100000, stdin);
        if (S == T) return EOF;
    }
    return *S++;
}
inline void read(int &x) {
    static char c; x = 0;
    for (c = get(); c < '0' || c > '9'; c = get());
    for (; c >= '0' && c <= '9'; c = get()) x = x * 10 + c - '0';
}

const int INF = 1 << 30;
const int N = 151515;

int n, m, h, s, ans;
int a[N], b[N];
int add[N << 2], mn[N << 2];

inline int Min(int a, int b) {
    return a < b ? a : b;
}
inline void PushDown(int o) {
    if (add[o]) {
        add[o << 1] += add[o]; add[o << 1 | 1] += add[o];
        mn[o << 1] += add[o]; mn[o << 1 | 1] += add[o];
        add[o] = 0;
    }
}
inline void Add(int o, int l, int r, int L, int R, int x) {
    if (l >= L && r <= R) {
        add[o] += x; mn[o] += x;
        return;
    }
    PushDown(o);
    int mid = (l + r) >> 1;
    if (L <= mid) Add(o << 1, l, mid, L, R, x);
    if (R > mid) Add(o << 1 | 1, mid + 1, r, L, R, x);
    mn[o] = Min(mn[o << 1], mn[o << 1 | 1]);
}
inline int Min(int o, int l, int r, int L, int R) {
    if (l >= L && r <= R) return mn[o];
    PushDown(o);
    int mid = (l + r) >> 1, res = INF;
    if (L <= mid) res = Min(Min(o << 1, l, mid, L, R), res);
    if (R > mid) res = Min(Min(o << 1 | 1, mid + 1, r, L, R), res);
    return res;
}

int main(void) {
    freopen("1.in", "r", stdin);
    read(n); read(m); read(h);
    for (int i = 1; i <= m; i++) read(b[i]);
    for (int i = 1; i <= n; i++) read(a[i]);
    sort(b + 1, b + m + 1);
    for (int i = 1; i <= m; i++)
        Add(1, 1, m, i, i, -i);
    for (int i = 1; i < m; i++) {
        s = lower_bound(b + 1, b + m + 1, h - a[i]) - b;
        if (s <= m) Add(1, 1, m, s, m, 1);
    }
    for (int i = m; i <= n; i++) {
        s = lower_bound(b + 1, b + m + 1, h - a[i]) - b;
        if (s <= m) Add(1, 1, m, s, m, 1);
        if (mn[1] >= 0) ans++;
        s = lower_bound(b + 1, b + m + 1, h - a[i - m + 1]) - b;
        if (s <= m) Add(1, 1, m, s, m, -1);
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}