【Loj#535】花火（线段树，扫描线）

最新推荐文章于 2019-02-20 18:43:33 发布

原创最新推荐文章于 2019-02-20 18:43:33 发布 · 298 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

本文介绍了一种针对逆序对计数问题的高效算法。通过分析交换数组中元素的意义及最优性条件，提出了一种利用前缀最大值和后缀最小值进行优化的方法，并结合扫描线技术和线段树实现动态维护逆序对数量。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题面

Loj

题解

首先如果不考虑交换任意两个数这个操作，答案就是逆序对的个数。
那么暴力就是枚举交换哪个两个数，然后用数据结构之类的东西动态维护逆序对。
但是这样还不够。
仔细观察哪些点交换了才有意义。
假设交换的位置是 $l,r$
首先必须有 $h[l]\gt h[r]$ ，这个很显然，如果把一个更大的数换到了前面显然不优。
其次， $l$ 必须是前缀的最大值。
如果 $l$ 不是前缀最大值，那么存在一个位置 $i$ 满足 $h[i]\gt h[l]\gt h[r]$
那么直接交换 $i,r$ 显然更优。
同理， $r$ 必须是后缀的最小值。
那么，首先把所有的前缀最大值和后缀最小值预处理出来。
每次交换的时候，我们发现减少的逆序对数量就是
$l<i<r,h[l]>h[i]>h[r]$ 的所有的个数。
发现这就是一个二维数点，用扫描线解决即可。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define RG register
#define MAX 333333
#define lson (now<<1)
#define rson (now<<1|1)
inline int read()
{
    RG int x=0,t=1;RG char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return x*t;
}
ll ans,now;
int n,a[MAX],cnt;
int st1[MAX],st2[MAX],top1,top2;
bool ins[MAX];
struct Node{int y,l,r,opt;}p[MAX<<1];
bool operator<(Node a,Node b)
{
    if(a.y!=b.y)return a.y<b.y;
    return a.opt<b.opt;
}
int binary1(int x)
{
    int l=1,r=top1,ret=0;
    while(l<=r)
    {
        int mid=(l+r)>>1;
        if(a[st1[mid]]>a[x])ret=mid,r=mid-1;
        else l=mid+1;
    }
    return st1[ret];
}
int binary2(int x)
{
    int l=1,r=top2,ret=0;
    while(l<=r)
    {
        int mid=(l+r)>>1;
        if(a[st2[mid]]<a[x])ret=mid,r=mid-1;
        else l=mid+1;
    }
    return st2[ret];
}
struct SegNode{int mx,tag;}t[MAX<<2];
void Modify(int now,int l,int r,int L,int R,int w)
{
    if(L<=l&&r<=R){t[now].mx+=w;t[now].tag+=w;return;}
    int mid=(l+r)>>1;
    if(L<=mid)Modify(lson,l,mid,L,R,w);
    if(R>mid)Modify(rson,mid+1,r,L,R,w);
    t[now].mx=max(t[lson].mx,t[rson].mx)+t[now].tag;
}
int c[MAX];
int lb(int x){return x&(-x);}
void add(int x){while(x<=n)++c[x],x+=lb(x);}
int getsum(int x){int ret=0;while(x)ret+=c[x],x-=lb(x);return ret;}
int main()
{
    //freopen("hanabi.in","r",stdin);
    //freopen("hanabi.out","w",stdout);
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=read();
    for(int i=1;i<=n;++i)if(i==1||a[i]>a[st1[top1]])st1[++top1]=i,ins[i]=true;
    for(int i=n;i>=1;--i)if(i==n||a[i]<a[st2[top2]])st2[++top2]=i,ins[i]=true;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        if(!ins[i])
        {
            int l=binary1(i),r=binary2(i);
            if(l<i&&i<r)
            {
                p[++cnt]=(Node){i+1,l,i-1,+1};
                p[++cnt]=(Node){r+1,l,i-1,-1};
            }
        }
    sort(&p[1],&p[cnt+1]);
    for(int i=1;i<=cnt;++i)
    {
        Modify(1,1,n,p[i].l,p[i].r,p[i].opt);
        if(p[i].y!=p[i+1].y)ans=max(ans,1ll*t[1].mx);
    }
    ans<<=1;ans*=-1;
    for(int i=1;i<=n;++i)add(a[i]),ans+=i-getsum(a[i]);
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}