Newcoder 111 A.托米的简单表示法（树形DP）

Description

一天，他正在为解析算术表达式的课程准备课件。 在课程的第一部分，他只想专注于解析括号。 他为他的学生发明了一个有趣的正确括号序列的几何表示，如下图所示:

几何表示的定义：

1.对于一个括号序列$A$，我们定义$g(A)$是$A$的几何表示形式,则$“()"$的表示是一个$1\ast 1$的方块，高度为$1$;

2.对于一个括号序列$A$，$“(A)"$的表示是由一个比$g(A)$宽$2$个单位高$1$个单位的矩形包围$g(A)$，它的高度为$A+1$;

3.对于两个括号序列$A$和$B$，$A+B$的几何表示形式为把$g(B)$放置在$g(A)$右边的一个单位，且高度为$A$和$B$的高度的较大值。其中+指的是字符串的连接符。​

在完成课件后，托米老师开始玩他做好的图片。 他将图像的有限区域交替地涂成黑色和白色，使最外面的区域全部涂成黑色。 对于上面的例子，这个着色如下所示：

现在给你一个合法的括号序列。 请计算颜色为黑色的区域的面积。

Input

输入的第一行包含一个整数$T$，表示指定测试用例的数量。

每个测试用例前面都有一个空白行。

每个测试用例由一个合法括号序列$s$组成。 每行只包含字符${}^{\prime }{(}^{\prime }$和${}^{\prime }{)}^{\prime }$。

$(1\le T\le 10,|s|\le 4\cdot 10^5)$

Output

对于每个测试用例，输出一行包含一个整数,表示相应几何表示的黑色部分的面积。

Sample Input

2

((()))

(())(()(()))

Sample Output

10
20

Solution

将该合法括号序列看作一个森林的$dfs$序，左括号表示从当前节点走向一个新的儿子节点，右括号则表示从当前节点走向父亲节点，建树后考虑$u$节点所代表左括号和与之配对的右括号形成的区域中黑色块的面积，记为$dp(u)$，为了维护面积，多维护两个值$h(u),w(u)$分别表示只考虑以$u$为根的子树中所有节点构成区域的高度和宽度，那么显然有转移
h(u)=max⁡v∈son(u){h(v)}+1,w(u)=∣son(u)∣+1+∑v∈son(u)w(v) h(u)=\max\limits_{v\in son(u)}\{h(v)\}+1,w(u)=|son(u)|+1+\sum\limits_{v\in son(u)}w(v) h(u)=v∈son(u)max​{h(v)}+1,w(u)=∣son(u)∣+1+v∈son(u)∑​w(v)
进而有
$$dp(u)=h(u)\cdot w(u)-\sum _{v\in son(u)}dp(v)$$
累加该森林每棵树根节点的$dp$值即为答案，时间复杂度$O(n)$

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=400005;
int T,fa[maxn],h[maxn],w[maxn];
char c[maxn]; 
vector<int>g[maxn];
ll dp[maxn];
void dfs(int u)
{
	if(g[u].size()==0)
	{
		h[u]=w[u]=dp[u]=1;
		return ;
	}
	h[u]=dp[u]=0,w[u]=g[u].size()+1;
	for(int i=0;i<g[u].size();i++)
	{
		int v=g[u][i];
		dfs(v);
		h[u]=max(h[u],h[v]+1);
		w[u]+=w[v];
		dp[u]-=dp[v];
	}
	dp[u]+=(ll)h[u]*w[u];
}
int main()
{
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%s",c);
		int n=strlen(c);
		for(int i=0;i<n;i++)g[i].clear(),fa[i]=-1;
		int u=0;
		for(int i=1;i<n;i++)
			if(c[i]=='(')g[u].push_back(i),fa[i]=u,u=i;
			else u=fa[u];
		ll ans=0;
		for(int i=0;i<n;i++)
			if(c[i]=='('&&fa[i]==-1)
			{
				dfs(i);
				ans+=dp[i];
			}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}