Newcoder 146 H.Playing games（博弈论+FWT）

Description

给出$n$堆石子，第$i$堆有$a_i$个石子，要求取出最多堆的石子使得两人用这些石子玩取石子游戏先手必败

Input

第一行一整数$n$表示石子堆数，之后输入$n$个整数$a_1,...,a_n$表示每堆石子的石子数

$(1\le n\le 500000,1\le a_i\le 500000)$

Output

输出最多的石子堆数，如果选取任意堆石子先手都必胜则输出$0$

Sample Input

8
1 9 2 6 0 8 1 7

Sample Output

7

Solution

问题转化为取走最少的数字使得剩余数字异或和为$0$，如果所有数字异或和为$0$那么答案即为$n$，否则假设这$n$个数字的异或和为$x$，那么要选取最少的数字使得这些数字的异或和为$x$，由于数字范围不超过$5\cdot 10^5$，故至多选取$19$个数字即可得到$x$，从两个序列中分别选一个数异或得到新序列的过程用$FWT$可以加速，那么至多做$19$遍$FWT$即可得到结果，时间复杂度$O(nlo{g}^{2}n)$

Code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define maxn (1<<19)+5
void FWT(ll *a,int n)  
{  
    for(int d=1;d<n;d<<=1)  
        for(int i=0;i<n;i+=(d<<1))  
            for(int j=0;j<d;j++)  
	            {  
	                ll x=a[i+j],y=a[i+j+d];  
	                a[i+j]=x+y,a[i+j+d]=x-y; 
	            } 
}  
void UFWT(ll *a,int n)  
{  
    for(int d=1;d<n;d<<=1)  
        for(int i=0;i<n;i+=(d<<1))  
            for(int j=0;j<d;j++)  
	            {  
	                ll x=a[i+j],y=a[i+j+d];  
	                a[i+j]=(x+y)/2,a[i+j+d]=(x-y)/2; 
	            } 
}    
int n;
ll a[maxn],b[maxn];
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	int mx=0,res=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int temp;
		scanf("%d",&temp);
		res^=temp;
		a[temp]=1;
		mx=max(mx,temp);
	}
	if(res==0)printf("%d\n",n);
	else
	{
		int m=1;
		while(m<=mx)m<<=1;
		for(int i=0;i<=mx;i++)b[i]=a[i];
		FWT(a,m);
		while(1)
		{
			n--;
			if(b[res]||!n)
			{
				printf("%d\n",n);
				break;
			}
			FWT(b,m);
			for(int i=0;i<m;i++)b[i]*=a[i];
			UFWT(b,m);
			for(int i=0;i<m;i++)b[i]=(b[i]>0?1:0);
		}
	}
	return 0;
}