HDU 6436 Problem K. Pow2（dp）

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本文探讨了如何使用最少的2^x和-2^x数字组合来达到特定二进制目标值的问题，通过动态规划算法求解，考虑了数字使用的限制条件，确保了解的存在性和效率。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

给出若干 $2^x$ 和 $-2^x$ ，每个数字可以用多次，要求用最少的数字使得其和为 $s$

Input

第一行一整数 $T$ 表示用例组数，每组用例首先输入一整数 $n$ 表示 $s$ 二进制位数，之后输入一个为 $n$ 的 $01$ 串表示 $s$ 串（从低位到高位输入），最后输入两个长度为 $n$ 的 $01$ 串 $a,b$ 分别表示不能用的 $2^x$ 和 $-2^x$

$(1\le T\le 1000,1\le n\le 10^5,\sum n\le 10^6)$

Output

输出所用数字最少的数量，保证有解且答案不会超过 $10^9$

Sample Input

3
6
110010
110101
011111
9
100101110
011111111
111111111
5
11111
00000
00000

Sample Output

3
233
2

Solution

以 $dp[i][0/1]$ 表示以加/减的方式得到 $s$ 的前 $i$ 位所需要的最少数字数，以 $add,sub$ 分别表示用前 $i$ 位的 $2^x$ 和 $-2^x$ 得到当前位的 $2^i$ 所需的最少数字个数，那么有：

若 $s[i]=0$ ，那么 $dp[i][0]=min(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+add)$ ，即要么直接构造前 $i-1$ 位，要么构造前 $i-1$ 位取反的值，再用 $2^i$ 减掉，这需要多出 $add$ 次运算，且有 $dp[i][1]=min(dp[i][1],dp[i-1]+sub)$ ，即构造前 $i-1$ 位取反的值再减掉 $2^i$ ，这需要多出 $sub$ 次运算

若 $s[i]=1$ ，那么 $dp[i][1]=min(dp[i-1][1],dp[i-1][0]+sub)$ ，即要么直接构造前 $i-1$ 位取反，要么构造前 $i-1$ 位，再减掉 $2^i$ ，这需要多出 $sub$ 次运算，且有 $dp[i][0]=min(dp[i][0],dp[i-1][1]+add)$ ，即构造前 $i-1$ 位然后加上 $2^i$ ，这需要多出 $add$ 次运算

最后 $min(dp[n][0],dp[n][1]+1)$ 即为答案，时间复杂度 $O(n)$

Code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define maxn 100005
const int INF=1e9;
int T,n,dp[maxn][2];
char s[maxn],a[maxn],b[maxn];
int main()
{
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        scanf("%s%s%s",s+1,a+1,b+1);
        for(int i=0;i<=n;i++)dp[i][0]=dp[i][1]=INF;
        dp[0][0]=0;
        int add=INF,sub=INF;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(a[i]=='0')add=1;
            else add=min(2*add,INF);
            if(b[i]=='0')sub=1;
            else sub=min(2*sub,INF);
            if(s[i]=='0')
            {
                dp[i][0]=min(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+add);
                dp[i][1]=min(dp[i][1],dp[i-1][1]+sub);
            }
            else
            {
                dp[i][1]=min(dp[i-1][1],dp[i-1][0]+sub);
                dp[i][0]=min(dp[i][0],dp[i-1][0]+add);
            }
        }
        printf("%d\n",min(dp[n][0],dp[n][1]+1));
    }
    return 0;
}