HDU 6314 Matrix（容斥原理）

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组合数学

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本文介绍了一种计算特定条件下的01矩阵数量的方法。通过选取指定行和列全为1的矩阵，利用组合数学和容斥原理计算方案数，并通过预处理组合数和2的幂次来优化算法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

问至少有 $A$ 行 $B$ 列全是 $1$ 的 $n\times m$ 的 $01$ 矩阵个数

Input

多组用例，每组用例输入四个整数 $n,m,A,B(1\le n,m,A,B\le 3000)$

Output

输出方案数，结果模 $998244353$

Sample Input

3 4 1 2

Sample Output

169

Solution

先考虑行，选出 $i$ 行为黑、至少 $b$ 列为黑的方案数为 $C_n^i\cdot$ 所选 $i$ 行为黑、至少 $b$ 列为黑的方案数，但在选 $j<i$ 行为黑时会重复计算，考虑容斥，假设每部分实际应该计算的次数为 $f_i$ 次，那么有 $f_i=1-\sum\limits_{k=a}^{i-1}f_kC_i^k$ ，同理可以求出选出 $j$ 列为黑实际被计算的次数 $g_j=1-\sum\limits_{k=b}^{j-1}g_kC_j^k$ ，而所选 $i$ 行 $j$ 列为黑的方案数即为 $2^{(n-i)(m-j)}$ ，进而答案即为 $ans=\sum\limits_{i=a}^n\sum\limits_{j=b}^mf_ig_jC_n^iC_m^j2^{(n-i)(m-j)}$ ，预处理组合数和 $2$ 的幂次即可，方案数 $O(n^2+m^2+nm)$

Code

#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define maxn 3005
#define mod 998244353
int mul(int x,int y)
{
    ll z=1ll*x*y;
    return z-z/mod*mod;
}
int add(int x,int y)
{
    x+=y;
    if(x>=mod)x-=mod;
    return x;
}
int C[maxn][maxn],f2[maxn*maxn],f[maxn],g[maxn];
void init(int n=3000)
{
    f2[0]=1;
    for(int i=1;i<=n*n;i++)f2[i]=add(f2[i-1],f2[i-1]);
    C[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        C[i][0]=C[i][i]=1;
        for(int j=1;j<i;j++)C[i][j]=add(C[i-1][j-1],C[i-1][j]);
    } 
}
int main()
{
    init();
    int n,m,a,b;
    while(~scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&a,&b))
    {
        for(int i=a;i<=n;i++)
        {
            f[i]=1;
            for(int j=a;j<i;j++)f[i]=add(f[i],mod-mul(f[j],C[i][j]));
        }       
        for(int i=b;i<=m;i++)
        {
            g[i]=1;
            for(int j=b;j<i;j++)g[i]=add(g[i],mod-mul(g[j],C[i][j]));
        }
        int ans=0;
        for(int i=a;i<=n;i++)
            for(int j=b;j<=m;j++)
            {
                int temp=mul(mul(f[i],C[n][i]),mul(g[j],C[m][j]));
                temp=mul(temp,f2[(n-i)*(m-j)]);
                ans=add(ans,temp);
            }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}