Newcoder 139 A.Monotonic Matrix（组合数学）

最新推荐文章于 2020-01-15 22:12:14 发布

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本文探讨了一个复杂的矩阵计数问题，目标是找出所有可能的n×m矩阵，其中矩阵元素为0、1或2，并遵循特定的递增规则。通过巧妙地转换问题，将其转化为寻找两条不相交路径的数量，从而找到了一个有效的解决方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

求满足下列条件的 $n\times m$ 矩阵的个数：

1. $A_{i,j}\in\{0,1,2\},1\le i\le n,1\le j\le m$

2. $A_{i,j}\le A_{i+1,j},1\le i<n,1\le j\le m$

3. $A_{i,j}\le A_{i,j+1},1\le i\le n,1\le j<m$

Input

多组用例，每组用例输入两个整数 $n,m(1\le n,m\le 10^3)$

Output

输出满足条件的矩阵个数，结果模 $10^9+7$

Sample Input

1 2
2 2
1000 1000

Sample Output

6
20
540949876

Solution

考虑 $0,1$ 分界线和 $1,2$ 分界线，问题等价于求从 $(0,0)$ 到 $(m,n)$ 的两条不相交路径个数，将其中一条路径平移往使得这两条路径完全不触及，那么问题为求起点分别为 $(0,0),(-1,1)$ ，终点分别为 $(m,n),(m-1,n+1)$ 的两条完全不触及路径个数，不考虑触及的总方案数 $C_{n+m}^nC_{n+m}^n$ ，其中不合法方案，也即当两条路径触及时，将第一个触及点将之后的路径交换，即可与起点分别为 $(0,0),(-1,1)$ ，终点分别为 $(m-1,n+1),(m,n)$ 的两条路径一一对应，故不合法方案数为 $C_{n+m}^{m-1}C_{n+m}^{n-1}$ ，故答案为 $C_{n+m}^nC_{n+m}^n-C_{n+m}^{m-1}C_{n+m}^{n-1}$

Code

 #include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
int C[2005][1005];
#define mod 1000000007
void init(int n=2000,int m=1000)
{
    C[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        C[i][0]=C[i][i]=1;
        for(int j=1;j<i;j++)C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%mod;
    } 
}
int main()
{
    init();
    int n,m;
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        int ans=((ll)C[n+m][n]*C[n+m][n]%mod-(ll)C[n+m][n-1]*C[n+m][m-1]%mod+mod)%mod;
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}